搜索
专题二功与能量动量第2讲机械能守恒和功能关系高频考点1机械能守恒定律的理解与应用高频考点2功能关系的理解与应用栏目导航专题限时训练高频考点1机械能守恒定律的理解与应用〉〉视角一单个物体的机械能守恒问题[例1](2019·贵州七校联考)如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小.传送带的运行速度v0＝6m/s，将质量m＝1.0kg的可看成质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0m，“9”形轨道高H＝0.8m，“9”形轨道上半部分圆弧半径R＝0.2m，滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.3，重力加速度g＝10m/s2，试求：(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；(2)滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h.答案：(1)3s(2)90N(3)1.4m解析：(1)滑块在传送带运动时，由牛顿第二定律得：μmg＝ma解得：a＝μg＝3m/s2滑块加速到与传送带达到共同速度所需要的时间t1＝v0a＝2s前2s内的位移x1＝12at21＝6m之后滑块做匀速运动的位移x2＝L－x1＝6m匀速运动的时间t2＝x2v0＝1s故滑块从传送带A端运动到B端所需时间t＝t1＋t2＝3s(2)滑块由B运动到C，由机械能守恒定律得：12mv2C＋mgH＝12mv20在C点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力提供做圆周运动的向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得：FN＋mg＝mv2CR解得：FN＝90N(3)滑块由B到D运动的过程中，由机械能守恒定律得：12mv20＝12mv2D＋mg(H－2R)设P、D两点间的竖直高度为h，滑块由D运动到P的过程中，由机械能守恒定律得：12mv2P＝12mv2D＋mgh又vD＝vPsin45°由以上三式可解得h＝1.4m.[规律方法]应用机械能守恒定律的一般步骤〉〉视角二涉及弹性势能的机械能守恒问题[例2](多选)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM∠OMNπ2.在小球从M点运动到N点的过程中()A．弹力对小球先做正功后做负功B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差答案：BCD解析：在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM∠OMNπ2，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长，弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误；在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确；弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项C正确．由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点的动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确．[规律方法]弹簧中的能量问题的处理技巧1．弹簧的弹力：满足胡克定律F＝kx，是一个变力．2．弹性势能：Ep＝12kx2(一般高考不作要求)，通常由功能关系或能量守恒计算；轻弹簧压缩或拉伸，均有弹性势能，同一弹簧压缩或拉伸相同长度，其弹性势能相等．3．弹力做功：与路径无关，取决于初、末状态弹簧形变量的大小，且W弹＝－ΔEp.〉〉视角三多个物体(系统)机械能守恒问题[例3](2018·南通六市调研)如图所示，A、B两小球质量均为m，A球位于半径为R的竖直光滑圆轨道内侧，B球穿过固定的光滑竖直长杆，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆的延长线过轨道圆心O.两球用轻质铰链与长为L(L＞2R)的轻杆连接，连接两球的轻杆能随小球自由移动，M、P、N三点分别为圆轨道上最低点、最高点、圆心的等高点，重力加速度为g.(1)对A球施加一个始终沿圆轨道切向的推力，使其缓慢从M点移至N点，求A球在N点受到的推力大小F；(2)在M点给A球一个水平向左的初速度，A球沿圆轨道运动到最高点P时速度大小为v，求A球在M点时的初速度大小v0；(3)在(2)的情况下，若A球运动至M点时，B球的加速度大小为a，求此时圆轨道对A球的作用力大小FA.答案：(1)2mg(2)v2＋8gR(3)10mg＋ma＋mv2R解析：(1)在N点，A、B和轻杆整体处于平衡状态，在竖直方向只有F与A、B的重力，则有F－2mg＝0解得F＝2mg(2)A球在M点、P点时，B球的速度都为零．A、B球和轻杆组成的系统在运动过程中满足机械能守恒定律，则2mg·2R＝12mv20－12mv2解得v0＝v2＋8gR(3)此时B球有向上的加速度a，设杆对B球支持力为F0，由牛顿第二定律有F0－mg＝maA球此时受到重力、轨道竖直向上的支持力和轻杆竖直向下的压力，同理有FA－F0－mg＝mv20R解得FA＝10mg＋ma＋mv2R.[例4](多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点正下方距离为d处．现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是()A．环到达B处时，重物上升的高度h＝d2B．环到达B处时，环与重物的速度大小相等C．环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能D．环能下降的最大高度为43d答案：CD解析：根据几何关系，环从A下滑至B点时，重物上升的高度h＝2d－d，故A错误；B处环的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有vcos45°＝v重物，故B错误；环下滑过程中无摩擦力做功，故系统机械能守恒，即环减小的机械能等于重物增加的机械能，故C正确；下滑到最大高度为h时，环和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为h2＋d2－d，根据机械能守恒有mgh＝2mg(h2＋d2－d)解得h＝43d，故D正确．[规律方法]正确选用机械能守恒定律的表达式解题机械能守恒定律的表达式有：(1)Ep＋Ek＝Ep′＋Ek′；(2)ΔEp＋ΔEk＝0、ΔE1＋ΔE2＝0或ΔE增＝ΔE减．用(1)时，需要选取重力势能的参考面，用(2)时则不必选取重力势能的参考面，因为重力势能的改变量与参考面的选取没有关系．尤其是用ΔE增＝ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了．1．(2019·贵阳模拟)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点．将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v.已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．小球运动到B点时的动能等于mghB．小球由A点到B点重力势能减少12mv2C．小球由A点到B点克服弹力做功为mghD．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－12mv2答案：D解析：小球由A点到B点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，即mgh＝12mv2＋Ep，选项A、B错误；弹簧弹性势能增加量Ep＝mgh－12mv2，选项D正确；小球克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能增加量，选项C错误．2．(多选)(2018·皖南八校联考)如图所示，B是质量为1kg、半径为0.2m的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上，A是质量为2kg的细长直杆，光滑套管D被固定在竖直方向，A可以自由上下运动，物块C的质量为1kg，紧靠半球形碗放置，初始时A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)，然后从静止开始释放A，A、B、C便开始运动，g＝10m/s2，则以下说法正确的是()A．长直杆的下端第一次运动到碗内的最低点时，B的速度为1m/sB．长直杆的下端第一次运动到碗内的最低点时，C的速度为2m/sC．运动过程中，长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗内底部的高度为0.1mD．从静止释放A到长直杆的下端又上升到距碗底有最大高度的过程中，C对B做功为－2J答案：BCD解析：长直杆的下端运动到碗的最低点时，长直杆在竖直方向的速度为零，三者组成的系统只有重力做功，且B、C一起向右运动，速度相等，由机械能守恒定律mAgR＝12(mB＋mC)v2，解得v＝2m/s，A错误，B正确；长直杆的下端上升到最高点时，长直杆在竖直方向的速度为零，B在水平方向速度为零，A、B组成的系统机械能守恒，mAgh＝12mBv2，解得h＝0.1m，C正确；从静止释放A到长直杆的下端到碗底的过程中，对C由动能定理可得WB→C＝12mCv2，解得WB→c＝2J，此过程B与C之间的相互作用力等大反向，B与C位移相等，因此C对B做功为－2J，此后B、C分离，C对B不做功，故D正确．3.如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2m，开始时让连着A的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，B由静止释放，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A的速度为多大？在以后的运动过程中，A所获得的最大速度为多大(设B不会碰到水平杆，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g＝10m/s2)?答案：1.1m/s1.6m/s解析：A、B两物体组成的系统，只有动能和重力势能的转化，机械能守恒．设θ2＝53°时，A、B两物体的速度分别为vA、vB，B下降的高度为h1，则有mgh1＝12mv2A＋12mv2B其中h1＝hsinθ1－hsinθ2将A的速度分解为沿绳的速度与垂直于绳的速度，则有：vAcosθ2＝vB代入数据解得vA≈1.1m/s.由于绳子的拉力对A做正功，使A加速，至左滑轮正下方时速度最大，此时B的速度为零，此过程B下降高度设为h2，则由机械能守恒定律得：mgh2＝12mv2Am其中h2＝hsinθ1－h代入数据解得vAm≈1.6m/s.4．(2018·金山区二模)在竖直平面内，将光滑金属杆OP弯成如图所示形状，PQ为一根与水平方向夹角为37°的粗糙直杆，两根杆平滑连接．小环套在金属杆上，并从x＝0处以v0＝5m/s的初速度沿杆运动．已知直杆足够长且小环与直杆间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：(1)小环运动到P点时的速度大小v；(2)小环在直杆上运动时的加速度大小a；(3)以y＝0处为零势能面，求小环在直杆上运动时，动能和重力势能相等的位置(只需求出y轴坐标)．答案：(1)5m/s(2)2m/s2(3)716m解析：(1)小环在OP杆上运动时，受重力和弹力作用，且只有重力做功，小环机械能守恒，设y＝0处为零势能面，则：－mgy＝12mv2－12mv20，代入数据得v＝5m/s.(2)小环在直杆上的受力如图所示：由牛顿第二定律：mgsin37°－f＝ma，N＝mgcos37°，且f＝μN代入数据可得a＝2m/s2.(3)设小环在y′处，Ek＝Ep，即12mv′2＝mgy′，由匀加速运动公式，v′2－v2＝2aS，其中S＝1－y′sin37°，代入数据可得y′＝716m.高频考点2功能关系的理解与应用〉〉视角一做功与能量变化的关系[例5](2018·全国卷Ⅰ)如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R.bc是半径为R的四分之一的圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球．始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为()A．2mgRB．