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专题一物理模型模型十磁场中的动态圆模型角度一沿同一方向发射速率不同的带电粒子[模型解法]粒子源能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子．这些带电粒子垂直于磁感线射入匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动，它们的轨迹是如图所示的一簇与初速度方向相切的随速度增大而逐渐放大的动态圆．它们有下列特点：(1)各带电粒子的轨迹有一个公共切点，且它们的圆心分布在同一条直线上的一簇动态圆．(2)各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等．(3)速率大的带电粒子所走过的路程大，对应大圆．[例1](多选)(2018·河北石家庄质检)如图所示，等腰直角三角形abc区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，直角边bc的长度为L.三个相同的带正电粒子从b点沿bc方向分别以不同速率v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶2.不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是()A．粒子的速率关系一定是v1＝v2＜v3B．粒子的速率关系可能是v2v1v3C．粒子的比荷qm＝πBt2D．粒子的比荷qm＝3v32BL答案：BD解析：三个相同的带正电粒子从b点沿bc方向分别以速率v1、v2、v3射入磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有qvB＝mv2R，得r＝mvqB，轨迹半径与速率成正比，又知三粒子在磁场中运动时间之比为t1∶t2∶t3＝3∶3∶2，三粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2πmqB相等，则它们在磁场中偏转角度之比等于时间之比，则知速率为v1、v2的粒子从ab边穿出，偏转角为90°，但两者的速率大小关系不定，速率为v3的粒子从ac边穿出，则其轨迹半径最大，由半径公式r＝mvBq，知v3一定大于v1和v2，所以选项A错误，选项B正确；速率为v3的粒子偏转角为60°，如图所示，由几何关系知：r3sin60°＝L，得r3＝23L，又r3＝mv3Bq，得qm＝3v32BL，故选项D正确；由θ2π＝tT，得t1＝t2＝T4，又T＝2πmBq，得qm＝π2Bt1＝π2Bt2，选项C错误．角度二向各个方向发射相同速率的带电粒子[模型解法]这类问题可以归结为这样一个几何模型：如图甲所示，有一半径为R的圆，绕圆周上的一点O转动一周，圆平面扫过的区域就是以点O为圆心，2R为半径的圆．要准确把握这一模型，需要认识和区分三种圆．(1)轨迹圆：各带电粒子的圆轨迹半径相等，运动周期相等．随着入射速度方向的改变，它们构成一簇绕粒子源O旋转的动态圆(图乙中细实线所示)．(2)圆心圆：各带电粒子轨迹圆的圆心分布在以粒子源O为圆心，R＝mvqB为半径的一个圆周上(图乙中细虚线所示)．(3)边界圆：带电粒子在磁场中可能经过的区域是以粒子源O为圆心，2R为半径的大圆(图乙中粗虚线所示)．[例2]如图所示，S为电子射线源，能在图示纸面上360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、电荷量为e的电子．MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS＝L，挡板左侧充满垂直于纸面向里的匀强磁场．(1)若电子的发射速率为v0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B应满足什么条件？(2)若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达挡板，则电子的发射速率多大？(3)若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速率为2eBLm，则挡板上出现电子的范围多大？[思维分析]电子从S发出后必受到洛伦兹力作用而在纸面上做匀速圆周运动，由于电子从S射出的方向不同，其受洛伦兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析可知，只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O.由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一簇动态圆，动态圆的每一个圆都是顺时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图所示，最低点为动态圆与MN相切时的交点P1，最高点为动态圆与MN相交的点P2，且SP2为直径．答案：(1)B≤2mv0eL(2)v≥eBL2m(3)(3＋15)L解析：(1)要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，则电子做圆周运动的轨道半径必满足R≥L2由mv0eB≥L2，得：B≤2mv0eL(2)要使电子从S发出后能到达挡板，则电子至少能到达挡板上的O点，故仍有粒子做圆周运动的半径R′≥L2由mveB≥L2，有：v≥eBL2m(3)当从S发出的电子的速率为2eBLm时，电子在磁场中的运动轨迹半径R″＝mveB＝2L作出图示的临界轨迹SP1︵、SP2︵，故电子击中挡板的范围在P1P2间．对SP1︵由图知OP1＝2L2－L2＝3L对SP2︵由图知OP2＝4L2－L2＝15LP1P2＝(3＋15)L.角度三确定入射速度，不确定入射点[模型解法]带电粒子以相同大小的速度和方向射入有界磁场．1．找圆心方法带电粒子射入磁场速度的方向、大小不变，半径R确定，则所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的方向上，离入射点距离为R.2．模型特征(1)各动态圆的半径R相同．(2)圆心在垂直初速度方向上且离入射点为R的位置．(3)若磁场边界为直线，则圆心轨迹也为直线．(4)若磁场边界为圆，则圆心轨迹也为圆．[例3]如图所示，长方形abcd长ad＝0.6m，宽ab＝0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25T．一群不计重力、质量m＝3×10－7kg、电荷量q＝2×10－3C的带电粒子以速度v＝5×102m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则()A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边答案：D解析：带电粒子射入磁场中的速度不变，半径相同，可得出圆心轨迹在直线ad上，且得到一组动态图(如图所示)，故D正确．1．(多选)(2019·福州质检)在半径为R的圆形区域内，存在垂直于圆面向里的匀强磁场．圆边界上的P处有一粒子源，沿垂直于磁场的各个方向，向磁场区发射速率均为v0的同种粒子，如图所示．现测得：当磁感应强度为B1时，粒子均从由P点开始弧长为12πR的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为B2时，粒子则从由P点开始弧长为23πR的圆周范围内射出磁场．不计粒子的重力，则()A．前后两次粒子运动的轨迹半径之比r1∶r2＝2∶3B．前后两次粒子运动的轨迹半径之比r1∶r2＝2∶3C．前后两次磁感应强度的大小之比B1∶B2＝2∶3D．前后两次磁感应强度的大小之比B1∶B2＝3∶2答案：AD解析：假设粒子带正电，如图甲，磁感应强度为B1时，弧长L1＝12πR对应的弦长为粒子圆周运动的直径，则r1＝12·2Rsinθ＝Rsinπ4.如图乙，磁感应强度为B2时，弧长L2＝23πR对应的弦长为粒子圆周运动的直径，则r2＝12·2Rsinα＝Rsinπ3，因此r1∶r2＝sinπ4∶sinπ3＝2∶3，故A正确，B错误；由洛伦兹力提供向心力，得qv0B＝mv20r，则B＝mv0qr，可以得出B1∶B2＝r2∶r1＝3∶2，故C错误，D正确．2．(多选)(2019·新泰模拟)如图所示，S为一离子源，MN为长荧光屏，S到MN的距离为L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B.某时刻离子源S一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量正离子，离子的质量m、电荷量q、速率v均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力，则()A．当vqBL2m时，所有离子都打不到荧光屏上B．当vqBLm时，所有离子都打不到荧光屏上C．当v＝qBLm时，打到荧光屏的离子数与发射的离子总数比值为12D．当v＝qBLm时，打到荧光屏的离子数与发射的离子总数比值为512答案：AC解析：根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2R，得R＝mvqB，当vqBL2m时，RL2，直径2RL，所有离子都打不到荧光屏上，选项A正确；当vqBLm时，对于qBL2m≤vqBLm的离子，L2≤RL，能打到荧光屏上，选项B错误；当v＝qBLm时，R＝L，离子恰好能打在荧光屏上时的运动轨迹如图所示，离子速度为v1时从下侧回旋，刚好和荧光屏正对离子源的下部相切；离子速度为v2时从上侧回旋，刚好和荧光屏正对离子源的上部相切，打到荧光屏的离子数与发射的离子总数比值为12，选项C正确、D错误．3．如图所示，有一横截面为正方形的匀强磁场区域，正方形的边长为L，磁场的磁感强度为B，一带电粒子从ad边的中点O与ad边成α＝30°角且垂直于磁场方向射入．若该带电粒子所带电荷量为q，质量为m(不计重力)，则该带电粒子在磁场中飞行的最长时间是多少？若要使带电粒子飞行的时间最长，则带电粒子的速度必须满足什么条件？答案：5πm3qBv≤qBL3m解析：如图所示，垂直初速度方向的虚线为圆心轨迹，圆心角最大时飞行时间最长，根据图分析可得，当圆轨迹与上边界相切时，圆心角最大为300°，速度再小一些时将从ad边射出，此时的圆心角也是300°.R＋Rcos60°＝12L，解得R＝L3由qvB＝mv2R，得由R＝L3＝mvqB解得v＝qBL3m由T＝2πRv，得T＝2πmqBtmax＝56T＝5πm3qB要使带电粒子的飞行时间最长，带电粒子的速度必须满足v≤qBL3m.4．如图所示，x轴正方向为水平向右，y轴正方向为竖直向上，在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒，发射时，这束带电微粒分布在O＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g.(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开．求电场强度和磁感应强度的大小和方向；(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由．答案：(1)mgq，方向平行y轴向上mvqR，方向垂直纸面向外(2)见解析解析：(1)由题意得，带电粒子在磁场中的半径为R，由qvB＝mv2R，可得：B＝mvqR，磁场方向垂直于纸面向外．由已知，得Eq＝mgE＝mgq，方向平行y轴向上(2)这束带电微粒都通过坐标原点．从任一点水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于入射点正下方的O′点，如图所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图所示半圆弧，此圆的圆心是坐标原点O.所以，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的．5．如图所示，在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B.一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，由原点O开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场．后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，已知P到O的距离为L，不计重力的影响．(1)若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；(2)若粒子速度大小v＝qBL6m，试求该圆形磁场区域的最小面积．答案：(1)qBL3m(2)πL248解析：粒子在磁场的初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两直线的距离相等，等于轨道半径，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线上．过P点作末速度的反向延长线，交x轴于Q点，经分析可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹的圆心必在∠OQP的角平分线QC上，如图甲所示．设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律有qvB＝mv2r，得r＝mvqB.由此可知粒子速度越大，其轨迹半径越大．在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆(如图乙)，其中以C点为圆心的轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大．由图乙可知，速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点．(1)如图甲所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与PQ相切于A点．由几何关