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专题一物理模型模型九带电粒子在磁场中的运动模型角度一单直线边界磁场模型[模型解法]带电粒子进入直线边界磁场的规律要点带电粒子以一定的速度v垂直于磁场方向进入磁场(不计粒子重力)．(1)对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场，如图所示．(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨迹恰构成一个完整的圆．正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨迹圆弧对应的圆心角之和等于2π，即φ＋＋φ－＝2π，且φ－＝2θ.[例1](2018·全国卷Ⅲ)如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：(1)磁场的磁感应强度大小；(2)甲、乙两种离子的比荷之比．答案：(1)4Ulv1(2)1∶4解析：(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1U＝12m1v21①由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1v21R1②由几何关系知2R1＝l③由①②③式得B＝4Ulv1④(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有q2U＝12m2v22⑤q2v2B＝m2v22R2⑥由题给条件有2R2＝l2⑦由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为q1m1∶q2m2＝1∶4.⑧角度二双直线边界磁场模型[模型解法]1．轨迹圆的三个确定(1)确定圆心O：①已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可过入射点和出射点分别作入射方向和出射方向的垂线，两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．②已知入射点和出射点的位置及入射方向时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．(2)确定半径R：①物理方法——R＝mvqB.②几何方法——一般由三角关系及圆的知识来计算确定．(3)确定圆心角(也叫回旋角)φ与时间t：粒子的速度偏向角α等于回旋角φ，等于弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，且有φ＝α＝2θ＝ωt＝2πTt，或α＝lR(l为φ对应的圆弧弧长)，或t＝lv＝αRv.判断顺序：圆心→半径→圆心角．2．最值相切规律当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨迹分别与两直线相切．如图所示．对称性：过粒子源S的ab的垂线为ab的中垂线．在图中，a、b之间有带电粒子射出，可求得ab＝22dr－d2.最值相切规律可推广到矩形区域磁场中．[例2]如图所示，带异种电荷的粒子a、b以相同的动能同时从O点射入宽度为d的有界匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，且同时到达P点．a、b两粒子的质量之比m1∶m2为()A．1∶2B．2∶1C．3∶4D．4∶3[思维分析]画出粒子的轨迹图→根据几何知识确定圆心→求出半径和圆心角→动能相等、运动时间相等→结合圆周运动公式联立求解．答案：C解析：根据题意画出a、b粒子的运动轨迹如图所示，则a、b粒子的圆心分别是O1和O2，由图可知：a粒子的半径r1＝d2sin60°＝d3，b粒子的半径r2＝d2sin30°＝d，由Ek＝12mv2可得12m1v21＝12m2v22，即m1v21＝m2v22，又a粒子轨迹长度s1＝2×60°360°×2πr1＝2πr13，b粒子的轨迹长度s2＝2×30°360°×2πr2＝πr23，v1＝s1t，v2＝s2t，联立以上各式解得m1m2＝34，C正确．角度三圆形边界磁场模型[模型解法]圆形磁场区域规律要点1．相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图(a)所示．2．直径最小：带电粒子从圆与某直径的一个交点射入磁场，则从该直径与圆的另一交点射出时，磁场区域最小，如图(b)所示．[例3](2019·潍坊模拟)如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行，不计粒子重力．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？答案：(1)3Bqr3m(2)3Bqr4m解析：(1)根据题意画出粒子的运动轨迹如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝3r3又qv1B＝mv21R1解得v1＝3Bqr3m.(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由几何关系有(2r－R2)2＝R22＋r2，可得R2＝3r4又qv2B＝mv22R2，可得v2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m.1.(2018·湖南、江西十四校联考)如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以速率v从P点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点，已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则()A．这些粒子做圆周运动的半径为2RB．该匀强磁场的磁感应强度大小为2mvqRC．该匀强磁场的磁感应强度大小为2mv2qRD．该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为12πR2答案：B解析：从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q，由动圆法知P、Q连线为轨迹直径；PQ圆弧长为磁场圆周长的14，由几何关系可知PQ＝2R，则粒子轨迹半径r＝22R，由牛顿第二定律知qvB＝mv2r，解得B＝2mvqR，故B正确，A、C错误；该圆形磁场中有粒子经过的区域面积大于12πR2，选项D错误．2．(多选)如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、方向均在xOy平面内．在直线x＝a与x＝2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60°角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动，下列说法正确的是()A．粒子的速度大小为2aBqmB．粒子的速度大小为aBqmC．与y轴正方向成120°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长D．与y轴正方向成90°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长答案：AC解析：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，qvB＝mv2R，由题意画出粒子运动轨迹如图，由几何关系可知：R＝2a，所以粒子的速度v＝qBRm＝2aqBm，故A正确，B错误；而粒子在磁场中运动的时间由圆心角决定，根据圆的对称性可知，粒子与y轴正方向成120°角射出时在磁场中运动对应的圆心角最大，故运动时间越长，故C正确，D错误．3．(2018·河北唐山二模)如图所示，在水平面内存在一半径为2R和半径为R两个同心圆，半径为R的小圆和半径为2R的大圆之间形成一环形区域．小圆和环形区域内分别存在垂直于水平面、方向相反的匀强磁场．小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B.位于圆心处的粒子源S沿水平面向各个方向发射速率为qBRm的正粒子，粒子的电荷量为q、质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R的圆内，环形区域磁感应强度大小至少为()A．BB．45BC．53BD．34B答案：C解析：粒子在小圆内做圆周运动的半径r＝mvBq＝R，由轨迹图可知，粒子从A点与OA成30°角的方向射入环形区域，粒子恰好不射出磁场，轨迹圆与大圆相切，设半径为r′，由几何知识可知∠OAO2＝120°，由余弦定理可知：(2R－r′)2＝r′2＋R2－2Rr′cos120°解得r′＝35R，由qvB′＝mv2r′，则B′＝mvqr′＝5mv3qR＝53B，只有选项C正确．4．(多选)(2018·山西大同市一中学期末)如图所示，在虚线MN的上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，质子和α粒子(He核)从MN上的O点以相同的速度v0(v0在纸面内且与MN的夹角为θ，θ90°)同时射入匀强磁场中，再分别从MN上A、B两点离开磁场，A、B距离为d.已知质子的质量为m，电荷量为e.忽略重力及质子和α粒子间的相互作用．下列说法正确的是()A．磁感应强度的大小为2mv0desinθB．磁感应强度的大小为2mv0deC．两粒子到达A、B两点的时间差Δt＝π－θdv0sinθD．两粒子到达A、B两点的时间差Δt＝θdv0sinθ答案：AC解析：根据qvB＝mv2r，得r＝mvqB，因为质子和α粒子的电荷量之比为1∶2，质量之比为1∶4，则轨道半径之比为1∶2.设质子的轨道半径为R，则α粒子的轨道半径为2R.轨迹如图所示：根据几何关系有R＝d2sinθ.根据evB＝mv20R得：B＝mv0eR＝2mv0sinθde，选项A正确、B错误；质子在磁场中的周期T1＝2πmeB，α粒子在磁场中的周期T2＝2π·4m2eB＝4πmeB，则两粒子到达A、B两点的时间差为Δt＝2π－2θ2π(T2－T1)＝2mπ－θeB＝dπ－θv0sinθ，选项C正确、D错误．5．(2018·安徽泗县巩沟中学期末)如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x轴上的S点有一粒子发射源，不定时地发射沿与x轴负方向成30°角的质量为m、电荷量为－q的粒子a和沿与x轴正方向成60°角的质量也为m、电荷量为＋q的粒子b.已知粒子a的速度为va＝v0，粒子b的速度为vb＝3v0，忽略两粒子的重力以及两粒子间的相互作用，求：(1)要使两粒子在磁场中发生碰撞，则两粒子释放的时间间隔ΔT；(2)如果两粒子在磁场中不相碰，则两粒子进入磁场后第一次经过x轴时两点之间的距离．答案：(1)πm3qB(2)4mv0qB解析：(1)如图所示，假设两粒子在磁场中的P点发生碰撞，两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示设a粒子做圆周运动的半径为r，则b粒子做圆周运动的半径为3r根据几何关系可得a、b粒子的圆心相距为2r圆弧SP在a粒子圆周上对应的圆心角为120°圆弧SP在b粒子圆周上对应的圆心角为60°两粒子运动周期相同，故要使两粒子相碰，释放的时间间隔应为ΔT＝16T＝πm3qB(2)两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，则r＝mvqB粒子a做圆周运动对应的圆心角θa＝5π3，对应的弦SM＝2rsin30°粒子b做圆周运动对应的圆心角θb＝4π3，对应的弦SN＝23rsin60°联立得：d＝SM＋SN＝4mv0qB.6．(2019·梁山模拟)“太空粒子探测器”是由加速装置、偏转装置和收集装置三部分组成的，其原理可简化为如图所示的示意图．辐射状的加速电场区域边界为两个同心圆，圆心为O，外圆的半径R1＝2m，电势φ1＝50V，内圆的半径R2＝1m，电势φ2＝0，内圆里有磁感应强度大小B＝5×10－3T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，收集薄板MN与内圆的一条直径重合，收集薄板两端M、N与内圆间各存在一狭缝．假设太空中漂浮着质量m＝1.0×10－10kg、电荷量q＝4×10－4C的带正电粒子，它们能均匀地吸附到外圆面上，并被加速电场从静止开始加速，进入磁场后，发生偏转，最后打在收集薄板MN上并被吸收(收集薄板两侧均能吸收粒子)，不考虑粒子相互间的碰撞和作用．(1)求粒子刚到达内圆时速度的大小；(2)以收集薄板MN所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐