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专题一物理模型模型七弹簧模型角度一与弹簧相关的平衡问题[模型解法]弹簧类平衡问题常常以单一问题出现，涉及的知识主要是胡克定律、物体的平衡，求解时要注意弹力的大小与方向总是与形变相对应，因此审题时应从弹簧的形变分析入手，找出形变量x与物体空间位置变化的对应关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来列式求解．[例1](2019·宁夏银川一中月考)两个中间有孔的质量为M的小球A、B用一轻弹簧相连，套在水平光滑横杆上，两个小球下面分别连一轻弹簧，两轻弹簧下端系在一质量为m的小球C上，如图所示，已知三根轻弹簧的劲度系数都为k，三根轻弹簧刚好构成一等边三角形．下列说法正确的是()A．水平横杆对小球A、B的支持力均为Mg＋mgB．连接小球C的轻弹簧的弹力为mg3C．连接小球C的轻弹簧的伸长量为3mg3kD．套在水平光滑横杆上的轻弹簧的形变量为3mg2k答案：C解析：选择整体为研究对象，在竖直方向只受到重力与杆的支持力，则有FN＝FN1＋FN2＝2Mg＋mg，可得FN1＝FN2＝Mg＋mg2，选项A错误；对小球C受力分析，如图所示，由对称性可知，左、右弹簧对C的弹力大小相等，与合力的方向之间的夹角为30°，由于C受力平衡，可得2F1cos30°＝mg，得F1＝33mg，选项B错误；由胡克定律得F1＝kx1，连接小球C的轻弹簧的伸长量x1＝F1k＝3mg3k，选项C正确；小球A水平方向受到弹簧水平向左的弹力与倾斜弹簧水平分力的作用，由受力平衡得F2＝F1′cos60°＝36mg，故套在水平光滑横杆上的轻弹簧的形变量x′＝F2k＝3mg6k，选项D错误．角度二与弹簧相关的动力学问题[模型解法](1)弹簧(或橡皮绳)恢复形变需要时间，在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成不变，即弹力不能突变．而细线(或接触面)是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体，若剪断(或脱离)后，其中弹力立即消失，即弹力可突变，题目中所给细线和接触面在没有特殊说明时，一般可按此模型处理．(2)对于连接体的加速问题往往先使用整体法求得其加速度，再用隔离法求得受力少的物体的加速度，并利用加速度的关系求解相应量．[例2](多选)如图所示，A、B质量均为m，叠放在轻质弹簧上(弹簧下端固定于地面上)，对A施加一竖直向下、大小为F(F＞2mg)的力，将弹簧再压缩一段距离(弹簧始终处于弹性限度内)而处于平衡状态，现突然撤去力F，设两物体向上运动过程中A、B间的相互作用力大小为FN，则关于FN的说法正确的是(重力加速度为g)()A．刚撤去外力F时，FN＝mg＋F2B．弹簧弹力等于F时，FN＝F2C．两物体A、B的速度最大时，FN＝mgD．弹簧恢复原长时，FN＝mg[思维分析]撤去外力瞬间，弹簧弹力不变→物体A、B在弹簧弹力和重力作用下向上运动→由整体法求得其加速度，由隔离法求得物体B对A的弹力→物体A、B向上先做加速度减小的加速运动，再做加速度反向增大的减速运动，速度最大时，合外力为0→弹簧恢复原长时，两者都只受重力作用．答案：BC解析：刚撤去外力F时，由牛顿第二定律知对A、B整体有F＝2ma1，对物体A有FN－mg＝ma1，联立得FN＝F2＋mg，A项错误；当弹簧弹力大小等于F时，有F－2mg＝2ma2，FN－mg＝ma2，联立得FN＝F2，B项正确；当两物体A、B的加速度为零时，两者速度最大，则有FN＝mg，C项正确；当弹簧恢复原长时，弹簧不提供弹力，此时两物体处于失重状态，A、B间的相互作用力大小为0，D项错误．角度三与弹簧相关的功能问题[模型解法]弹簧连接体是考查功能关系问题的经典模型，求解这类问题的关键是认真分析系统的物理过程和功能转化情况，再由动能定理、机械能守恒定律或功能关系列式，同时注意以下几点：(1)弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关，对同一根弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只要形变量相同，则其储存的弹性势能就相同．(2)弹性势能公式Ep＝12kx2在高考中不作要求(除非题中给出该公式)，与弹簧相关的功能问题一般利用动能定理或能量守恒定律求解．[例3](多选)(2018·安徽省黄山市一模)如图所示，竖直光滑长杆固定不动，套在杆上的轻质弹簧下端固定，套在杆上的滑块质量为0.80kg，现向下压滑块，至弹簧上端离地高度h＝0.40m处，滑块与弹簧不拴接．现由静止释放滑块，通过传感器测量出滑块的速度和离地高度h，计算出滑块的动能Ek，并作出滑块的Ek－h图象，其中高度从0.80m上升到1.40m范围内图象为直线，其余部分为曲线．若以地面为重力势能的零势能面，空气阻力不能忽略，重力加速度g＝10m/s2，则结合图象可知()A．空气阻力大小恒为1.00NB．弹簧原长为0.72mC．弹簧最大弹性势能为9.00JD．滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为3.60J答案：AC解析：在Ek－h图象中，根据动能定理知：图线的斜率大小表示滑块所受的合外力，由于高度从0.80m上升到1.40m范围内图象为直线，其余部分为曲线，说明滑块从0.80m上升到1.40m范围内所受作用力为恒力，根据动能定理得－(mg＋f)Δh＝0－Ek，由图知Δh＝0.60m，Ek＝5.40J，解得空气阻力f＝1.00N，故A正确；从h＝0.8m开始，滑块与弹簧分离，则知弹簧的原长为0.8m，故B错误；根据能量守恒定律可知，当滑块上升至最大高度时，整个过程中，增加的重力势能和克服空气阻力做功之和等于弹簧最大的弹性势能，所以Epm＝(mg＋f)Δh＝9×(1.40－0.4)＝9.00J，故C正确；由题图可知，Ekm＝5.76J，假设空气阻力不计，则在整个运动过程中，系统的动能、重力势能和弹性势能之间相互转化，因此滑块的动能最大时，滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小，Epmin＝Epm－Ekm＝9－5.76＝3.24J，由于有空气阻力，所以滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小值小于3.24J，故D错误．1.(2018·滁州一模)如图，A、B两球用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方，且O、A间的距离恰为L，此时绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1，现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2(k1＞k2)的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2，则下列说法正确的是()A．T1＜T2B．F1＜F2C．T1＝T2D．F1＝F2答案：C解析：以小球B为研究对象，分析受力情况，由平衡条件可知，弹簧的弹力F和绳子的拉力T的合力F合与重力mg大小相等，方向相反，即F合＝mg，作出力的合成图如图，由三角形相似得：F合OA＝FAB＝TOB，由题意可知：OA＝OB＝L，解得：T＝F合＝mg，绳子的拉力T只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数k无关，由此可得：T1＝T2.已知：k2＜k1，则在形变量不变时，k2的弹力减小，故A、B间的距离将减小，则由上式可知，F1＞F2，故C正确，A、B、D错误．2．(2019·山东临沂模拟)如图所示，水平地面上有一车厢，车厢内固定的平台通过相同的弹簧把相同的物块A、B压在竖直侧壁和水平的顶板上．已知A、B与接触面间的动摩擦因数均为μ，车厢静止时，两弹簧长度相同，A恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g.现使车厢沿水平方向加速运动，为保证A、B仍相对车厢静止，则车厢()A．速度可能向左，加速度可大于(1＋μ)gB．加速度一定向右，不能超过(1－μ)gC．加速度一定向左，不能超过μgD．加速度一定向左，不能超过(1－μ)g答案：B解析：开始时A恰好不下滑，对A受力分析如图所示，有fA＝mg＝μFNA＝μF弹，解得F弹＝mgμ，此时弹簧处于压缩状态．当车厢沿水平方向做加速运动时，为了保证A不下滑，侧壁对A的支持力必须大于或等于mgμ，根据牛顿第二定律可知加速度方向一定向右．对B受力分析如图所示，有fBm＝μFNB＝μ(F弹－mg)≥ma，解得a≤(1－μ)g，故选项B正确，A、C、D错误．3．(多选)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度大小为g.则此下降过程中()A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于32mgB．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于32mgC．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下D．弹簧的弹性势能最大值为32mgL答案：AB解析：A的动能最大时，设B和C受到地面的支持力大小均为F，此时整体在竖直方向受力平衡，可得2F＝3mg，所以F＝32mg；在A的动能达到最大前一直是加速下降，处于失重情况，所以B受到地面的支持力小于32mg，故A、B正确；当A达到最低点时动能为零，此时弹簧的弹性势能最大，A的加速度方向向上，故C错误；A下落的高度为：h＝Lsin60°－Lsin30°，根据功能关系可知，小球A的机械能全部转化为弹簧的弹性势能，即弹簧的弹性势能最大值为Ep＝mgh＝3－12mgL，故D错误．4．(多选)(2019·陕西宝鸡一模)如图所示，光滑水平面上放有质量分别为2m和m的物块A和B，用细线将它们连接起来，两物块中间加有一压缩的轻质弹簧(弹簧与物块不相连)，弹簧的压缩量为x.现将细线剪断，此刻物块A的加速度大小为a，两物块刚要离开弹簧时物块A的速度大小为v，则()A．物块B的加速度大小为a时，弹簧的压缩量为x2B．物块A从开始运动到刚要离开弹簧时位移大小为23xC．物块开始运动前弹簧的弹性势能为32mv2D．物块开始运动前弹簧的弹性势能为3mv2答案：AD解析：当物块A的加速度大小为a时，根据胡克定律和牛顿第二定律得kx＝2ma，当物块B的加速度大小为a时，有kx′＝ma，对比可得x′＝x2，即此时弹簧的压缩量为x2，选项A正确；取水平向左为正方向，根据系统的动量守恒得2mxAt－mxBt＝0，又xA＋xB＝x，解得A的位移为xA＝13x，选项B错误；根据动量守恒定律得0＝2mv－mvB，得物块B刚要离开弹簧时的速度vB＝2v，由系统的机械能守恒得物块开始运动前弹簧的弹性势能为Ep＝12·2mv2＋12mv2B＝3mv2，选项C错误、D正确．5．(多选)(2018·南通六市高三调研)如图所示，一轻质弹簧直立于水平面上，弹簧处于原长时上端在O点，将一质量为M的物块甲轻放在弹簧上端，物块下降到A点时速度最大，下降到最低点B时加速度大小为g，O、B间距为h.换用另一质量为m的物块乙，从距O点高为h的C点静止释放，也刚好将弹簧压缩到B点．不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则上述过程中()A．弹簧的最大弹性势能为MghB．乙的最大速度为2ghC．乙在B点加速度大小为2gD．乙运动到O点下方h4处速度最大答案：AD解析：对于物块甲的过程，根据能量守恒可知，弹簧压缩到B点时的弹性势能等于甲的重力势能的变化量即Mgh，物块乙也刚好将弹簧压缩到B点，故弹簧最大弹性势能为Mgh，A正确；当乙下落到O点时速度为2gh，此时开始压缩弹簧，但弹簧弹力为零，所以物体将继续加速直到弹力等于重力，故乙的最大速度大于2gh，B错误；根据能量守恒有Mgh＝mg·2h，则m＝12M，在B点对物块甲有F－Mg＝Mg，对物块乙有F－mg＝ma，由以上各式可得a＝3g，C错误；设弹簧劲度系数为k，则kh＝2Mg＝4mg，即kh4＝mg，乙运动到O点下方h4处速度最大，D正确．6．(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的圆环相连，圆环套在倾斜的粗糙固定杆上，杆与水平面之间的夹角为α，圆环在A处时弹簧竖直且处于原长．将圆环从A处静止释放，到达C处时速度为零．若圆环在C处获得沿杆向上的速度v，恰好能回到A.已知AC＝L，B是AC的中点，弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度大小为g，则()A．下滑过程中，环受到的合力不断减小B．