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专题一力与运动第4讲万有引力与航天典题再现1.(2020·山东等级考模拟)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间．已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为()A.3T2T20R0B.T3T30R0C.3T20T2R0D.T30T3R0解析：选A.由开普勒第三定律可知：R3T2＝R30T20，所以R＝3T2T20R0.考情分析典题再现2.(多选)(2019·高考全国卷Ⅰ)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则()A.M与N的密度相等B.Q的质量是P的3倍C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍解析：选AC.设P、Q的质量分别为mP、mQ；M、N的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分别为g1、g2.在星球M上，弹簧压缩量为0时有mPg1＝3mPa0，所以g1＝3a0＝GM1R21等，密度ρ1＝M143πR31＝9a04πGR1；在星球N上，弹簧压缩量为0时有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝GM2R22，密度ρ2＝M243πR32＝3a04πGR2；因为R1＝3R2，所以有ρ1＝ρ2，选项A正确．当物体的加速度为0时有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝2kx0，解得mQ＝6mP，选项B错误．根据a－x图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，EkmP＝32mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C正确．根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误.考情分析典题再现3.(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是()解析：选D.在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图象是D.考情分析命题研究天体运动规律及万有引力定律的应用是高考全国卷每年必考内容，考查方向很广泛，从天体质量或密度的计算、行星运动规律的分析，到同步卫星、双星、宇宙速度的求解、变轨问题等，均在考查范围之内；山东模考对该部分也有考查，在备考中要注重复习解答天体运动的两条思路、开普勒定律等核心知识点，并关注一些天体学中的前沿知识点，近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新情景的物理题万有引力定律及天体质量和密度的求解【高分快攻】1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由GMmR2＝mg得天体质量M＝gR2G.天体密度：ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.2．借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.(1)由GMmr2＝m4π2rT2得天体的质量为M＝4π2r3GT2.(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度．【典题例析】(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A．5×109kg/m3B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3D．5×1018kg/m3[解析]毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据GMmR2＝m4π2RT2，M＝ρ·43πR3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015kg/m3，C正确．[答案]C【题组突破】角度1万有引力定律的应用1．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示，一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是()解析：选A.因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝GM1mx2＝G·43πx3ρ·mx2＝43Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当xR时，F＝GMmx2＝G·43πR3ρ·mx2＝4GπρmR33x2∝1x2，故选项A正确．角度2天体质量的计算2．(多选)(2019·大连模拟)宇航员抵达一半径为R的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动．若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF.已知万有引力常量为G，根据题中提供的条件和测量结果，可知()A．该星球表面的重力加速度为ΔF2mB．该星球表面的重力加速度为ΔF6mC．该星球的质量为ΔFR26GmD．该星球的质量为ΔFR23Gm解析：选BC.设砝码在最高点的速率为v1，受到的弹力为F1，在最低点的速率为v2，受到的弹力为F2，则有F1＋mg＝mv21R，F2－mg＝mv22R砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得：mg·2R＋12mv21＝12mv22拉力传感器读数差为ΔF＝F2－F1＝6mg故星球表面的重力加速度为g＝ΔF6m，A错误，B正确；在星球表面附近有：GMmR2＝mg，则M＝ΔFR26Gm，故C正确，D错误．卫星运行参量的分析【高分快攻】1．在讨论有关卫星的运动规律时，关键要明确向心力、轨道半径、线速度、角速度、周期和向心加速度，彼此影响、互相联系，只要其中一个量确定了，其他的量也就不变了；只要一个量发生了变化，其他的量也随之变化．2．不管是定性分析还是定量计算，必须抓住卫星运动的特点．万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，根据GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma求出相应物理量的表达式即可讨论或求解，需要注意的是a、v、ω、T均与卫星质量无关．3．两种卫星的特点(1)近地卫星①轨道半径＝地球半径．②卫星所受万有引力＝mg.③卫星向心加速度＝g.(2)同步卫星①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上．【典题例析】(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()A．周期为4π2r3GMB．动能为GMm2RC．角速度为Gmr3D．向心加速度为GMR2[解析]嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有GMmr2＝mω2r＝mv2r＝m4π2T2r＝ma，解得ω＝GMr3、v＝GMr、T＝4π2r3GM、a＝GMr2，则嫦娥四号探测器的动能为Ek＝12mv2＝GMm2r，由以上可知A正确，B、C、D错误．[答案]A【题组突破】角度1卫星轨道上物理参量的比较1．(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金R地R火，由此可以判定()A．a金a地a火B．a火a地a金C．v地v火v金D．v火v地v金解析：选A.金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有GMmR2＝ma，解得a＝GMR2，结合题中R金R地R火，可得a金a地a火，选项A正确，B错误；同理，有GMmR2＝mv2R，解得v＝GMR，再结合题中R金R地R火，可得v金v地v火，选项C、D均错误．角度2三种宇宙速度及其应用2．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝2v1.已知某星球的半径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为()A．12gRB．12gRC．gRD．18gR解析：选C.设在地球表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得GmMR2＝mv2R，又由GMmR2＝mg，解得地球的第一宇宙速度为v1＝GMR＝gR；设该星球的第一宇宙速度为v′1，根据题意，有v′1v1＝2MM×R4R＝12；由题意知第二宇宙速度v2＝2v1，联立得该星球的第二宇宙速度为v′2＝gR，故A、B、D错误，C正确．角度3同步卫星的特点3．(2019·高考北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星()A．入轨后可以位于北京正上方B．入轨后的速度大于第一宇宙速度C．发射速度大于第二宇宙速度D．若发射到近地圆轨道所需能量较少解析：选D.同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由GMmr2＝mv2r知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D项正确．命题角度解决方法易错辨析天体运行参量分析由万有引力提供向心力求解分清做哪种圆周运动来确定是根据万有引力提供向心力来计算还是作为整体来计算宇宙速度的计算由万有引力定律结合“黄金代换”联立求解一定是针对圆周运动而言同步卫星的特点从周期入手分析其他运动参量掌握几个定量关系的数值卫星变轨与对接问题【高分快攻】人造卫星变轨过程中各物理量的分析比较人造卫星的发射过程要经过多次变轨，过程简图如图所示．1．变轨原理：卫星绕中心天体稳定运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有GMmr2＝mv2r.当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有GMmr2＜mv2r，卫星将偏离圆轨道做离心运动；当v突然减小时，有GMmr2＞mv2r，卫星将做向心运动．2．各物理量的比较(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等．图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ.(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度v大小不相等．从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)．图中vⅡA＞vⅡB，EkⅡA＞EkⅡB，EpⅡA＜EpⅡB.(3)两个不同圆轨道上线速度v大小不相等．轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ.(4)不同轨道上运行周期T不相等．根据开普勒行星运动第三定律r3T2＝k，内侧轨道的运行周期小于外侧轨道的运行周期．图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.(5)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”．卫星变轨过程中机械能不守恒．图中EⅠ＜EⅡ＜EⅢ.(6)在分析卫星运行的加速度时，只要卫星与中心天体的距离不变，其加速度大小(由万有引力提供)就一定与轨道形状无关，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ.【典题例析】