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专题九常用公式和结论3．电场与磁场[临考必背]一、电场1．电场强度E＝Fq适用任何电场E＝kQr2点电荷电场E＝UABd＝φA－φBd匀强电场2．电势、电势差、电势能、电功：WAB＝qUAB＝q(φA－φB)＝－ΔEp(与路径无关)．3．电场线的应用(1)电场力的方向——正电荷的受力方向和电场线方向相同，负电荷的受力方向和电场线方向相反；(2)电场强度的大小(定性)——电场线的疏密可定性反映电场强度的大小；(3)电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线的方向电势逐步降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向；(4)等势面的疏密——电场越强的地方，等差等势面越密集；电场越弱的地方，等差等势面越稀疏．4．平行板电容器(1)电容器的电容C＝QU＝ΔQΔU任何电容器C＝εrS4πkd平行板电容器(2)电容器的动态分析①平行板电容器充电后保持两极板与电源相连通——U不变d↑→C＝εrS4πkd↓→Q＝CU↓E＝Ud↓S↓→C＝εrS4πkd↓→Q＝CU↓E＝Ud，不变②平行板电容器充电后两极板与电源断开——Q不变d↑→C＝εrS4πkd↓→U＝QC↑E＝Ud＝QCd＝4πkQεrS，不变S↓→C＝εrS4πkd↓→U＝QC↑E＝Ud＝QCd＝4πkQεrS↑5.电荷在匀强电场中的偏转(v0⊥E)沿v0方向：匀速l＝v0t沿E方向：加速vy＝at＝qUdm·lv0y＝12at2＝qUl22dmv20tanθ＝vyv0＝qUldmv206．常用结论(1)等量异种电荷连线的中垂线(面)的电势与无穷远处电势相等(等于零)．(2)在匀强电场中，长度相等且平行的两线段端点的电势差相等．(3)电容器充电电流，流入正极、流出负极；电容器放电电流，流出正极，流入负极．(4)带电粒子在电场和重力场中做竖直方向的圆周运动用等效法：当重力和电场力的合力沿半径且背离圆心处时速度最大，当其合力沿半径指向圆心处时速度最小．二、磁场1．安培力、安培力的方向(1)安培力的方向用左手定则判定．(2)安培力的方向特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B和I决定的平面．(3)安培力的大小：磁场和电流垂直时F＝BIL；磁场和电流平行时F＝0.2．洛伦兹力的方向和大小(1)判定方法：左手定则．方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．(2)洛伦兹力①当v∥B时，F洛＝0最小②当v⊥B时，F洛＝Bqv最大3．带电粒子在匀强磁场中的运动(1)洛伦兹力充当向心力：qvB＝mrω2＝mv2r＝mr4π2T2＝4π2mrf2＝ma.(2)圆周运动的半径r＝mvqB，周期T＝2πmqB.(3)圆周运动中有关对称的规律：①从直线边界射入匀强磁场的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图甲所示；②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图乙所示．(4)平行边界(存在临界条件，如图所示)(5)最小圆形磁场区域的计算：找到磁场边界的两点，以这两点的距离为直径的圆面积最小．4．带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中，如果做直线运动，一定做匀速直线运动．如果做匀速圆周运动，重力和电场力一定平衡，只有洛伦兹力提供向心力．5．速度选择器、电磁流量计、磁流体发电机、霍尔效应稳定时，电荷所受电场力和洛伦兹力平衡．6.回旋加速器如图所示，两个D形金属盒之间留有一个很小的缝隙，有很强的磁场垂直穿过D形金属盒．D形金属盒缝隙中存在交变的电场．带电粒子在缝隙的电场中被加速，然后进入磁场做半圆周运动．(1)粒子在磁场中运动一周，被加速两次；交变电场的频率与粒子在磁场中做圆周运动的频率相同．T电场＝T回旋＝T＝2πmqB.(2)粒子在电场中每加速一次，都有qU＝ΔEk.(3)粒子在边界射出时，都有相同的圆周半径R，有R＝mvqB.(4)粒子飞出加速器时的动能为Ek＝mv22＝B2R2q22m.(在粒子质量、电荷量确定的情况下，粒子所能达到的最大动能只与加速器的半径R和磁感应强度B有关，与加速电压无关)7．质谱仪(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝12mv2.粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝mv2r.由以上两式可得r＝1B2mUq，m＝qr2B22U，qm＝2UB2r2.[临考必清]1．库仑定律只适用于真空中两个点电荷之间，误认为只要对带电球体就适用．2．对场强定义式E＝Fq，错误地认为E与F成正比、与q成反比．3．对匀强电场公式E＝Ud，误认为d一定为电场中两点连线的距离．4．对电容的公式C＝QU，错误地认为C与Q成正比、与U成反比．5．在研究带电粒子的运动轨迹时，误认为运动轨迹与电场线一定重合．6．在电场中误认为场强大的地方电势一定高．7．在电容器的动态分析中，不能正确区分C＝QU和C＝εrS4πkd的意义及用途．8．将公式B＝FIL中的B错误地认为B与F成正比、与IL成反比．9．在判断安培力方向时，将左手定则和右手定则混淆．10．在判断负电荷在磁场中运动所受洛伦兹力方向时，错误地将“四指”指向v的方向．11．不能正确理解沿直线通过速度选择器的不同带电粒子有共同速度v＝EB.12．误认为在回旋加速器中最大动能与加速电压有关．[临考必练]1．如图所示，在正方形四个顶点分别放置一个点电荷，所带电荷量已在图中标出，则下列四个选项中，正方形中心处场强最大的是()解析：根据点电荷电场强度公式E＝kQr2，结合矢量合成法则求解．设正方形顶点到中心的距离为r，则A选项中电场强度EA＝0，B选项中电场强度EB＝22kQr2，C选项中电场强度EC＝kQr2，D选项中电场强度ED＝2kQr2，所以B正确．答案：B2．(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹．设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB.下列说法正确的是()A．电子一定从A向B运动B．若aAaB，则Q靠近M端且为正电荷C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpAEpBD．B点电势可能高于A点电势解析：电子在电场中做曲线运动，虚线AB是电子只在静电力作用下的运动轨迹，电场力沿电场线指向曲线的凹侧，电场的方向与电场力的方向相反，如图所示．由所知条件无法判断电子的运动方向，故A错误；若aA＞aB，说明电子在M点受到的电场力较大，M点的电场强度较大，根据点电荷的电场分布可知，靠近M端为场源电荷的位置，应带正电，故B正确；无论Q为正电荷还是负电荷，一定有电势φA＞φB，电子电势能Ep＝－eφ，电势能是标量，所以一定有EpA＜EpB，故C正确，D错误．答案：BC3．三根平行的长直导体棒分别过正三角形ABC的三个顶点，并与该三角形所在平面垂直，各导体棒中均通有大小相等的电流，方向如图所示．则三角形的中心O处的合磁场方向为()A．平行于AB，由A指向BB．平行于BC，由B指向CC．平行于CA，由C指向AD．由O指向C解析：如图所示，由安培定则可知，导线A中电流在O点产生的磁场的磁感应强度方向平行BC，同理，可知导线B、C中电流在O点产生的磁场的磁感应强度的方向分别平行于AC、AB，又由于三根导线中电流大小相等，到O点的距离相等，则它们在O点处产生的磁场的磁感应强度大小相等，再由平行四边形定则，可得O处的合磁场方向为平行于AB，由A指向B，故选A.答案：A4．图为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹(粒子穿过铅板后电荷量、质量不变)，室中匀强磁场的方向与轨道所在平面垂直(图中垂直于纸面向内)，由此可知此粒子()A．一定带正电B．一定带负电C．不带电D．可能带正电，也可能带负电解析：粒子穿过铅板的过程中，动能减小，轨道半径减小，根据题图中粒子的运动轨迹可以确定粒子从下向上穿过铅板，再由左手定则可判断出粒子一定带正电，选项A正确．答案：A5．(多选)如图所示，在一次实验中，小明同学用一个平行板电容器与静电计组成如图所示的实验装置，两极板水平放置，负极板接地，正极板和一个接地的静电计相连，将电容器充电后与电源断开．下列有关说法中正确的是()A．若将电容器的上极板向上移动一些，则静电计的指针偏角变小，P点的场强变小B．若将电容器的上极板向右移动一些，则静电计的指针偏角变小，P点的场强变小C．若将电容器的上极板向下移动一些，则原来处于P点静止的带电微粒将仍然保持静止D．若将电容器的上极板向左移动一些，则原来处于P点静止的带电微粒将向上运动解析：电容器充电后与电源断开，电容器带电荷量Q不变，将上极板向上移动一些，则d增大，根据C＝εrS4πkd知，电容C减小，根据C＝QU知，电势差U增大，指针偏角增大，由E＝Ud＝QCd＝4πkQεrS可知，不论极板间距增大还是减小，E保持不变，带电微粒仍保持静止，故选项A错误，C正确；电容器充电后与电源断开，电容器带电荷量Q不变，电容器的上极板左移或右移，电容器两极板的正对面积均减小，根据C＝εrS4πkd知，电容C减小，根据C＝QU知，电势差U增大，指针偏角增大，由E＝Ud可知，d不变，U增大时，E变大，则原来静止于P点的带电微粒将向上运动，选项B错误，D正确．答案：CD6．如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为()A．1∶2B．2∶1C．1∶3D．1∶1解析：如图所示，先过原点画一垂直速度方向的直线，粒子做圆周运动的圆心必在此直线上，根据r＝mvqB可知，两个圆的半径必然相等，画出如图所示的圆，正、负电子运动轨迹的圆心角分别为120°和60°，在磁场中运行的时间分别为t1＝13T，t2＝16T，则正、负电子在磁场中运动时间之比为2∶1，故选B项．答案：B7.如图所示，梯形abdc位于某匀强电场所在平面内，两底角分别为60°、30°，cd＝2ab＝4cm，已知a、b两点的电势分别为4V、0V，将电荷量q＝1.6×10－3C的正电荷由a点移动到c点，克服电场力做功6.4×10－3J，则下列关于电场强度的说法正确的是()A．垂直ab向上，大小为400V/mB．垂直bd斜向上，大小为400V/mC．平行ca斜向上，大小为200V/mD．平行bd斜向上，大小为200V/m解析：由W＝qU知Uac＝Wq＝－6.4×10－31.6×10－3V＝－4V，而φa＝4V，所以φc＝8V，过b点作be∥ac交cd于e，因在匀强电场中，任意两条平行线上距离相等的两点间电势差相等，所以Uab＝Uce，即φe＝4V，又因cd＝2ab，所以Ucd＝2Uab，即φd＝0V，所以bd为一条等势线，又由几何关系知eb⊥bd，由电场线与等势线的关系知电场强度必垂直bd斜向上，大小为E＝Uebed·sin30°＝41×10－2V/m＝400V/m，B项正确．答案：B8．如图所示，三角形区域磁场的三个顶点a、b、c在直角坐标系内的坐标分别为(0,23)、(－2,0)、(2，0)，磁感应强度B＝4×10－4T，大量比荷qm＝2.5×105C/kg、不计重力的正离子，从O点以相同的速率v＝23m/s沿不同方向垂直磁场射入该磁场区域．求：(1)离子运动的半径．(2)从ac边离开磁场的离子，离开磁场时距c点最近的位置坐标值．(3)从磁场区域射出的离子中，在磁场中运动的最长时间．解析：(1)由qvB＝mv2R得，R＝mvqB，代入数据可解得R＝23cm.(2)设从ac边离开磁场的离子距c最近的点的坐标为M(x，y)，M点为以a为圆心、以aO为半径的圆周与ac的交点，则x＝Rsin30°＝3cmy＝R－Rcos30°＝(23－3)cm离c最近的点的坐标值为M(3，23－3)．(3)依题意知，所有离子的轨道半径相同，则可知弦越长，对应的圆心角越大，易知从a点离开磁场的离子在磁场中运动时间最长，其轨迹所对的圆心角为60°