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平抛运动与圆周运动的综合问题目录ONTENTSC科学思维平抛运动与圆周运动的综合问题，因涉及两种运动的分与合，命题灵活且能考查学生应用相关知识解决具体问题的能力，成为近几年高考命题的新热点，如2016年全国卷ⅠT25、全国卷ⅡT25及2017年全国卷ⅡT17.准确分析运动过程，锁定两类运动的衔接模式，是解决此类问题的关键．[示例]如图所示，BC为半径等于252m竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ＝0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m＝0.5kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F＝5N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面．(g取10m/s2)求：(1)小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v0为多少？OA的距离为多少？(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少？(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少？[思路点拨]解此题的关键是做好过程分析和受力分析．(1)小球从A到B点做平抛运动，vB为平抛运动与圆周运动的关联速度．(2)小球从B到C点做匀速圆周运动，所施加外力F与重力平衡，圆管对小球的弹力提供向心力．(3)小球由C点沿斜面匀减速上滑到最高点．[解析](1)从A到B小球做平抛运动，在B点的速度方向如图所示则x＝r·sin45°＝v0th＝12gt2在B点：tan45°＝gtv0得v0＝2m/s，h＝0.2m|OA|＝h＋r·cos45°＝0.6m.(2)在B点：vB＝v0cos45°＝22m/s所施加外力F与重力平衡，小球在圆管内做匀速圆周运动，圆管对小球的弹力提供向心力FN＝mv2Br＝52N由牛顿第三定律得，小球对圆管的压力FN′＝FN＝52N.(3)小球由C点沿斜面匀减速上滑mgsin45°＋μmgcos45°＝maa＝82m/s2x＝v2B2a＝24m.[答案]见解析规律总结解决抛体运动与圆周运动综合问题的“四个关键”———————————————————————————(1)运动阶段的划分，如例题中分成三个阶段；(2)运动阶段的衔接，尤其注意速度方向，如例题中，小球运动到B点的速度；(3)两个运动阶段在时间和空间上的联系；(4)对于平抛运动或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用合成与分解的思想分析，这两种运动转折点的速度是解题的关键．[应用提升练]1．(多选)如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道和光滑水平轨道相切，三个小球1、2、3沿水平轨道分别以速度v1＝2gR、v2＝3gR、v3＝4gR水平向左冲上半圆形轨道，g为重力加速度，下列关于三个小球的落点到半圆形轨道最低点A的水平距离和离开轨道后的运动形式的说法正确的是()A．三个小球离开轨道后均做平抛运动B．小球2和小球3的落点到A点的距离之比为5∶23C．小球1和小球2做平抛运动的时间之比为1∶1D．小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1解析：设小球恰好通过最高点时的速度为v，此时由重力提供向心力，则mg＝mv2R，得v＝gR，设小球能通过最高点时在轨道最低点时最小速度为v′，由机械能守恒定律得2mgR＋12mv2＝12mv′2，得v′＝5gR.由于v1＝2gR＜v′，所以小球1不能到达轨道最高点，也就不能做平抛运动，故选项A、C错误；小球2和小球3离开轨道后做平抛运动，由2R＝12gt2得t＝2Rg，则小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1，故选项D正确；设小球2和小球3通过最高点时的速度分别为v2′和v3′.根据机械能守恒定律得2mgR＋12mv2′2＝12mv22，2mgR＋12mv3′2＝12mv23，解得v2′＝5gR，v3′＝23gR，由平抛运动规律得，水平距离为x＝v0t，t相等，则小球2和小球3的落点到A点的距离之比为5∶23，故选项B正确．答案：BD2.(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看作质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2.则()A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2N解析：根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3m/s，水平分速度vx＝vytan45°＝3m/s，则B点与C点的水平距离为x＝vxt＝0.9m，选项A正确，B错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNB＋mg＝mv2BR，vB＝vx＝3m/s，解得FNB＝－1N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C正确，D错误．答案：AC3．(2019·山西吕梁高考调研)如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点．质量m＝0.10kg的小球从B点正上方H＝0.95m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧槽轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离s＝2.4m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80m，g取10m/s2，不计空气阻力，求：(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小N；(2)小球经过最高点P的速度大小vP；(3)D点与圆心O的高度差hOD.解析：(1)设经过C点速度为v1，由机械能守恒定律有mg(H＋R)＝12mv21由牛顿第二定律有N－mg＝mv21R代入数据解得N＝6.8N.(2)P到Q做平抛运动，有h＝12gt2，s2＝vPt代入数据解得vP＝3.0m/s.(3)由机械能守恒定律有12mv2P＋mgh＝mg(H＋hOD)代入数据解得hOD＝0.30m.答案：(1)6.8N(2)3.0m/s(3)0.30m4.如图所示，长为L的细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动．已知小球在最高点A时受到细线的拉力刚好等于小球自身的重力，O点到水平地面的距离为H(H＞L)，重力加速度为g.(1)求小球通过最高点A时的速度大小；(2)求小球通过最低点B时，细线对小球的拉力大小；(3)若小球运动到最高点A时细线断裂或小球运动到最低点B时细线断裂，两种情况下小球落在水平地面上的位置到C点(C点为地面上的点，位于A点正下方)的距离相等，则L和H应满足什么关系？解析：(1)设小球运动到最高点A时的速度大小为vA，则由合力提供向心力可得2mg＝mv2AL，解得vA＝2gL.(2)设小球运动到B点时的速度大小为vB，则由机械能守恒定律可得mg·2L＋12mv2A＝12mv2B，解得vB＝6gL设小球运动到B点时，细线对小球的拉力大小为FT，则有FT－mg＝mv2BL，解得FT＝7mg.(3)若小球运动到A点时细线断裂，则小球从最高点A开始做平抛运动，有x＝vAtA，H＋L＝12gt2A若小球运动到B点时细线断裂，则小球从最低点B开始做平抛运动，有x＝vBtB，H－L＝12gt2B联立解得L＝H2.答案：(1)2gL(2)7mg(3)L＝H2