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数学第二部分高考热点分层突破专题四概率与统计第2讲统计与统计案例01做高考真题明命题趋向02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养[做真题]题型一抽样方法与总体分布的估计1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A．记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A．2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A．法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．法二：因为0.60.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．3．(2019·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.题型二变量间的相关关系、统计案例(2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(2)由茎叶图知m＝79＋812＝80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K2＝40×(15×15－5×5)220×20×20×20＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．[明考情]1．统计与统计案例在选择或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．2．统计解答题多在第18题的位置，且多以频率分布直方图或茎叶图与线性回归分析或独立性检验相交汇的形式考查，难度中等．[考法全练]1．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为()A．73B．78C．77D．76解析：选B．样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B．抽样方法2．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢4800720064001600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()A．25，25，25，25B．48，72，64，16C．20，40，30，10D．24，36，32，8解析：选D．法一：因为抽样比为10020000＝1200，所以每类人中应抽选出的人数分别为4800×1200＝24，7200×1200＝36，6400×1200＝32，1600×1200＝8.故选D．法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽选出的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8，故选D．3．(2019·广东省七校联考)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为________．(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954解析：由题意得，从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331，455，068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.答案：068(1)系统抽样总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组Nn个(有零头时要先去掉)．若第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k＋Nn，…，k＋(n－1)Nn.(2)分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．[典型例题](2019·广东六校第一次联考)某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R(单位：千米)的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下表：出厂续驶里程R/千米补贴/(万元/辆)150≤R2503250≤R3504R≥3504.52017年底某部门随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示，用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：用样本估计总体(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下频数分布表：辆数[5500，6500)[6500，7500)[7500，8500)[8500，9500]天数20304010(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置，直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一，购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二，购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润(日利润＝日收入－日维护费用)．【解】(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为补贴/(万元/辆)344.5概率0.20.50.3所以该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值为3×0.2＋4×0.5＋4.5×0.3＝3.95(万元)．(2)由频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为辆数6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为30×100＋4×900＝6600，可得实际充电车辆数的分布列为实际充电车辆数60006600概率0.20.8于是估计在方案一下新设备产生的日利润为25×(6000×0.2＋6600×0.8)－500×100－80×900＝40000(元)．若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200＋4×400＝7600，可得实际充电车辆数的分布列为实际充电车辆数600070007600概率0.20.30.5于是估计在方案二下新设备产生的日利润为25×(6000×0.2＋7000×0.3＋7600×0.5)－500×200－80×400＝45500(元)．(1)统计中的5个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．③平均数：样本数据的算术平均数，即x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．④方差与标准差：s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]；s＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2].(2)从频率分布直方图中得出有关数据的技巧①频率：频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示频率组距，频率＝组距×频率组距.②频率比：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比，从而根据已知的几组数据个数比求有关值．③众数：最高小长方形底边中点的横坐标．④中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．⑤平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横