（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题八 数学文化及数学思想 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思

数学第二部分高考热点分层突破专题八数学文化及数学思想第3讲分类讨论思想、转化与化归思想02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养一分类讨论思想分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2．标准要统一，层次要分明3．能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2．由数学运算要求而引起的分类讨论3．由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4．由图形的不确定性而引起的分类讨论5．由参数的变化而引起的分类讨论分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略[典型例题](1)若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．(2)在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝________．由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【解析】(1)若a1，有a2＝4，a－1＝m.解得a＝2，m＝12.此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0a1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3a1＝92，显然成立．当q≠1时，由a3＝32，S3＝92，所以a1q2＝32，①a1（1＋q＋q2）＝92.②由②①，得1＋q＋q2q2＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－12或q＝1(舍去)．当q＝－12时，a1＝a3q2＝6，综上可知，a1＝32或a1＝6.【答案】(1)14(2)32或6(1)指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分0a1，a1两种情况讨论．(2)利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的．[对点训练]1．已知函数f(x)＝sin（πx2），－1x0，ex－1，x≥0，若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值为________．解析：f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.当－1a0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，所以πa2＝2kπ＋π2(k∈Z)．所以a2＝2k＋12(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝12.因为－1a0，所以a＝－22.故a＝1或－22.答案：1或－222．若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，即函数g(x)＝ax2＋x在(0，1)内单调递增，当a＝0时，g(x)＝x在(0，1)内单调递增，符合题意，当a0时，g(x)的对称轴x＝－12a0，g(x)在(0，1)内单调递增，符合题意，当a0时，需满足g(x)的对称轴x＝－12a≥1，解得－12≤a0，综上，a≥－12.答案：－12，＋∞[典型例题]设A、B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)由图形位置或形状引起的分类讨论【解析】依题意得，3m≥tan∠AMB20m3或m3≥tan∠AMB2m3，所以3m≥tan60°0m3或m3≥tan60°m3，解得0m≤1或m≥9.故选A.【答案】A根据图形位置或形状分类讨论的关键点(1)确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．(2)分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．(3)得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．[对点训练]已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()A．－12B.12C．0D．－12或0解析：选D.不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0，表示的可行域如图(阴影部分)所示．由图可知，若要使不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx－y＋1＝0与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．结合图形可知斜率k的值为0或－12.[典型例题](2019·广东深圳第二次调研)已知函数f(x)＝aex＋2x－1，其中常数e＝2.71828…是自然对数的底数．讨论函数f(x)的单调性．因参数变化而引起的分类讨论【解】由题意知，f′(x)＝aex＋2.①当a≥0时，f′(x)0，函数f(x)在R上单调递增；②当a0时，由f′(x)0，解得xln－2a，由f′(x)0，解得xln－2a.故f(x)在－∞，ln－2a上单调递增，在ln－2a，＋∞上单调递减．综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在－∞，ln－2a上单调递增，在ln－2a，＋∞上单调递减．若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．本例研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a≥0或a0.[对点训练]已知函数f(x)＝mx2－x＋lnx，若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围为________．解析：f′(x)＝2mx－1＋1x＝2mx2－x＋1x，即2mx2－x＋10在(0，＋∞)上有解，当m≤0时显然成立；当m0时，由于函数y＝2mx2－x＋1的图象的对称轴x＝14m0，故需且只需Δ0，即1－8m0，故0m18.综上所述，实数m的取值范围为－∞，18.答案：－∞，18二转化与化归思想转化与化归的原则常见的转化与化归的策略1.熟悉化原则2.简单化原则3．直观化原则4.正难则反原则熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法[典型例题](一题多解)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20B．15C．9D．6特殊与一般的转化【解析】法一：(特例法)若四边形ABCD为矩形，建系如图．由BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，知M(6，3)，N(4，4)，所以AM→＝(6，3)，NM→＝(2，－1)AM→·NM→＝6×2＋3×(－1)＝9.法二：如图所示，由题设可知，AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋34AD→，NM→＝NC→－MC→＝13AB→－14AD→，所以AM→·NM→＝AB→＋34AD→·13AB→－14AD→＝13|AB→|2－316|AD→|2＋14AB→·AD→－14AB→·AD→＝13×36－316×16＝9.【答案】C破解此类题的关键点：(1)确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．(2)寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．(3)转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．(4)得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论．[对点训练]在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c＝3b，则tanA2tanC2的值为()A.15B.14C.12D.23解析：选C.令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意(取满足条件的三边)．则由C＝90°，得tanC2＝1.由tanA＝43，得2tanA21－tan2A2＝43，解得tanA2＝12.所以tanA2·tanC2＝12×1＝12.[典型例题]已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z，且m1，都有f(x＋t)≤3ex，试求m的最大值．函数、方程、不等式之间的转化【解】因为当t∈[－1，＋∞)，且x∈[1，m]时，x＋t≥0，所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋lnx－x.所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋lnx－x，对任意x∈[1，m]恒成立．令h(x)＝1＋lnx－x(1≤x≤m)．因为h′(x)＝1x－1≤0，所以函数h(x)在[1，＋∞)内为减函数．又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋lnm－m，所以要使得对任意x∈[1，m]t值恒存在，只需1＋lnm－m≥－1.因为h(3)＝ln3－2＝ln1e·3eln1e＝－1，h(4)＝ln4－3＝ln1e·4e2ln1e＝－1，且函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．[对点训练]若方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________．解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)0，即(5－k)(10－k)0解得5k10.当f(1)＝0时，k＝5.综上，k的取值范围为[5，10)答案：[5，10)[典型例题](1)设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是______．(2)若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．正与反、主与次的转化【解析】(1)设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2，2]时，f(t)0恒成立，则f（－2）0，f（2）0，即（log2x）2－4log2x＋30，（log2x）2－10，解得log2x－1或log2x3，即0x12或x8，故实数x的取值范围是0，12∪(8，＋∞)．(2)由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥2x－3x.当x∈(t，3)时恒成立，所以m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2x－3x，当x∈(t，3)时恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.所以使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为－373，－5.【答案】(1)0，12∪(8，＋∞)(2)－373，－5(1)正与反的转化要点正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．(2)主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常