（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题八 数学文化及数学思想 第2讲 函数与方程思想、数形结合思

数学第二部分高考热点分层突破专题八数学文化及数学思想第2讲函数与方程思想、数形结合思想02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养一函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系[典型例题]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．构建“函数关系”解决问题【解】(1)因为a1＝2，a23＝a2(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，所以公差d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，则1Sn＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.所以bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3，令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，则f′(x)＝2－1x20恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝16，所以实数k的最小值为16.数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地发现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．[对点训练]1．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px4x＋p－3成立的x的取值范围是________．解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.f(p)在0≤p≤4时恒为正，等价于f（0）0，f（4）0，即（x－3）（x－1）0，x2－10，解得x3或x－1.故x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)2．(2018·高考北京卷)若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________．解析：△ABC的面积S＝12acsinB＝34(a2＋c2－b2)＝34×2accosB，所以tanB＝3，因为0°∠B180°，所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°∠A30°，所以0tanA33，所以ca＝sinCsinA＝sin2π3－∠AsinA＝sin2π3cosA－cos2π3sinAsinA＝32tanA＋122，故ca的取值范围为(2，＋∞)．答案：60°(2，＋∞)3．已知a，b，c为空间中的三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y，|c－xa－yb|的最小值为________．解析：由题意可知|a|＝|b|＝1，a·b＝0，又|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，当且仅当x＝2，y＝1时，(|c－xa－yb|2)min＝4，所以|c－xa－yb|的最小值为2.答案：2[典型例题](一题多解)已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tanαtanβ的值．组建“方程形式”解决问题【解】法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝23，sinαcosβ－cosαsinβ＝15，所以sinαcosβ＝1330，cosαsinβ＝730.从而tanαtanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝137.法二：令x＝tanαtanβ.因为sin（α＋β）sin（α－β）＝103，且sin（α＋β）sin（α－β）＝sin（α＋β）cosαcosβsin（α－β）cosαcosβ＝tanα＋tanβtanα－tanβ＝tanαtanβ＋1tanαtanβ－1＝x＋1x－1.所以得到方程x＋1x－1＝103，解这个方程得tanαtanβ＝x＝137.运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sinαcosβ与cosαsinβ或tanαtanβ的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值．[对点训练]1．设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，〈b，c〉＝120°，则|b|的最大值为________．解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＝－(b＋c)，所以|a|2＝|b|2＋2|b||c|cos120°＋|c|2，即|c|2－|b||c|＋|b|2－4＝0，所以Δ＝|b|2－4(|b|2－4)≥0，解得0|b|≤433，即|b|的最大值为433.答案：4332．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝k（x－1），y2＝4x，消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1.由y＝k（x－1），y2＝4x，消去x得y2＝41ky＋1，即y2－4ky－4＝0，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得MA→·MB→＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1与y1＋y2＝4k，y1y2＝－4代入，得k＝2.答案：2二数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合[典型例题]已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝g（x），x0，g（x－1），x≥0，且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．巧用数形结合思想解决问题【解析】f(x)＝a－x2－2x，x0，a－x2＋1，x≥0，y＝f(x)－x恰有3个不同的零点等价于y＝f(x)与y＝x有三个不同的交点，试想将曲线f(x)上下平移使之与y＝x有三个交点是何等的复杂，故可变形再结合图象求解．由f(x)－x＝a－x2－3x，x0，a－x2－x＋1，x≥0，可得f(x)－x＝a＋－x2－3x，x0，－x2－x＋1，x≥0，所以y＝f(x)－x有三个零点等价于a＝x2＋3x，x0，x2＋x－1，x≥0，有三个根．令h(x)＝x2＋3x，x0，x2＋x－1，x≥0，画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此a∈[－1，0)．【答案】[－1，0)利用数形结合探究方程解的问题应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．[对点训练]1．若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)(cosx－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为()A.π4B.π2C.3π4D.5π4解析：选C.在同一坐标系中，作出y＝sinx和y＝cosx的图象，当m＝π4时，要使不等式恒成立，只有a＝22，当mπ4时，在x∈[0，m]上，必须要求y＝sinx和y＝cosx的图象不在y＝a＝22的同一侧，所以m的最大值是3π4.2．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．解析：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示．设OC→＝c，OA→＝a，OB→＝b，CA→＝a－c，CB→＝b－c，即CA→⊥CB→，又OA→⊥OB→所以O，A，C，B四点共圆．当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为2.答案：2本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放