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数学第二部分高考热点分层突破专题八数学文化及数学思想第1讲数学文化02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养[典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12(5－12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm渗透数学的美(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．【解析】(1)不妨设此人咽喉至肚脐的长度为xcm，则26x≈0.618，得x≈42，故此人身高大约为26＋42＋105＝173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B.(2)依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.【答案】(1)B(2)262－1数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容．数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美．纵观数学领域的一切公式、公理和定理，无不是对客观世界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映．[对点训练]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sinπ6x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.136B.118C.112D.19解析：选B.函数y＝3sinπ6x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118，故选B.[典型例题](1)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2017项为a2017，则a2017－5＝()A．2023×2017B．2023×2016C．1008×2023D．2017×1008渗透古代名家(学派)的研究(2)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________．【解析】(1)观察梯形数的前几项，得5＝2＋3＝a1，9＝2＋3＋4＝a2，14＝2＋3＋4＋5＝a3，…an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝（n＋1）（2＋n＋2）2＝12(n＋1)(n＋4)，由此可得a2017＝12×2018×2021＝1009×2021.所以a2017－5＝(1008＋1)(2023－2)－5＝1008×2023.(2)由题意，得S6＝6×12×1×1×sin60°＝332.【答案】(1)C(2)332本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景，本例(2)以我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景，分别考查了数列问题和圆内接正六边形的面积问题．其中毕达哥拉斯学派的“形数”问题，备受命题者的青睐，已成为高考命题的热点问题．[对点训练]1．(2019·长沙市统一模拟考试)我国南北朝时期的数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”是高，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所载，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示三视图对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A．8－4π3B．8－πC．8－2π3D．4－π2解析：选B.题中三视图对应的几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为2的半圆柱后剩余的部分，三视图对应的几何体的体积V＝23－12×π×12×2＝8－π，由祖暅原理得不规则几何体的体积为8－π，故选B.2．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则a2017a2019－a22018等于()A．1B．－1C．2017D．－2017解析：选A.因为a1a3－a22＝1×2－1＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝1，a4a6－a25＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a2n＋1＝(－1)n＋1，所以a2017a2019－a22018＝(－1)2017＋1＝1，故选A.[典型例题](1)(2019·湖南省五市十校联考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入a的值为4，则输出的m的值为()渗透古代数学名著A．19B．35C．67D．131(2)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国数学史中的一个空白，虽与著名的海伦公式形式上有所不同，但实质完全等价，由此可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．把以上这段文字用数学公式表示，即S＝14c2a2－c2＋a2－b222(S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜)．现有周长为42＋25的△ABC满足sinA∶sinB∶sinC＝(2＋1)∶5∶(2－1)，试用上面给出的数学公式计算△ABC的面积为()A.3B．23C.5D．25【解析】(1)由题意，执行程序框图，可得a＝4，m＝5，i＝1，m＝7，满足条件i≤4，执行循环体，i＝2，m＝11，满足条件i≤4，执行循环体，i＝3，m＝19，满足条件i≤4，执行循环体，i＝4，m＝35，满足条件i≤4，执行循环体，i＝5，m＝67，此时，不满足条件i≤4，退出循环体，输出m的值为67，故选C.(2)因为sinA∶sinB∶sinC＝(2＋1)∶5∶(2－1)，则由正弦定理得a∶b∶c＝(2＋1)∶5∶(2－1)．设a＝(2＋1)x，b＝5x，c＝(2－1)x，又周长为42＋25，所以42＋25＝(2＋1)x＋5x＋(2－1)x，解得x＝2.所以S＝14×42×（2－1）2×（2＋1）2－22×（2＋1）2＋22×（2－1）2－2022＝3.故选A.【答案】(1)C(2)A中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现了刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及《九章算术》等经典的数学传世之作，这些中国古代数学名著是我们的丰富宝库，继新课程改革以来，高考题中出现了一些以古代名著为命题背景的试题，涉及的有《九章算术》、《数书九章》、《算法统宗》等．从某种意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身．[对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝112×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为()A．3B．3.1C．3.14D．3.2解析：选A.设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得，体积为V＝πr2h.由题意知V＝112×(2πr)2×h，所以πr2h＝112×(2πr)2×h，解得π＝3.故选A.2．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，如图所示，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，则cos(α－β)的值为()A.59B.49C.23D．0解析：选A.设大正方形的边长为1，由小正方形与大正方形的面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为23，则cosα－sinα＝23，①sinβ－cosβ＝23.②由题意可得α＋β＝π2，所以cosα＝sinβ，sinα＝cosβ.①×②，可得49＝cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝59.故选A.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放