（新课标）2020版高考数学二轮复习 第一部分 基础考点 自主练透 第5讲 计数原理与二项式定理课件

数学第一部分基础考点自主练透第5讲计数原理与二项式定理01研考点考向破重点难点02练典型习题提数学素养[考法全练]1．甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中，到东亚文化之都——泉州“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有()A．16种B．18种C．20种D．24种两个计数原理解析：选C．任意相邻两天组合在一起，一共有6种情况：①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦.若甲选①②或⑥⑦，则乙各有4种选择，若甲选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则乙各有3种选择，故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有2×4＋4×3＝20(种)．2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920解析：选A．分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．3．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉的颜色不能相同，则不同种植方法的种数为()A．96B．114C．168D．240解析：选C．先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，再在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C．4．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有______个．解析：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．答案：485．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是________．解析：按分步来完成此事．第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，故共有10×9×8＝720种分法．答案：7206．在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8名运动员的方式共有24×120＝2880(种)．答案：2880应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．[考法全练]1．(2019·长春市质量监测(一))要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为()A．6B．12C．24D．36排列、组合的应用解析：选B．由题意可知，可以分两类，第一类，甲与另一人一同被分到A班，分法有C13A22＝6(种)；第二类，甲单独被分到A班，分法有C23A22＝6(种)．所以共有12种，故选B．2．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A．15B．30C．35D．42解析：选B．法一：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C37种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C22C15种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C37－C22C15＝30(种)，故选B．法二：发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有C12C25＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C35＝10(种)，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B．3．(2019·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种解析：选B．由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有A22A23＋A12A33＋A12A22＋C12C12A22A22＝44(种)，故选B．4．(2019·成都市第二次诊断性检测)用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420789的正整数个数为()A．479B．480C．455D．456解析：选C．当首位为7，8，9时，六位数共有3A55＝3×5×4×3×2×1＝360(个)；当首位为4，第二位为7，8，9时，六位数共有3A44＝3×4×3×2×1＝72(个)；当首位为4，第二位为2，第三位为7，8，9时，六位数共有3A33＝3×3×2×1＝18(个)；当首位为4，第二位为2，第三位为0，第四位为8，9时，六位数共有2A22＝2×2×1＝4(个)；当首位为4，第二位为2，第三位为0，第四位为7，第五位为9时，六位数共有1个．所以大于420789的正整数共有360＋72＋18＋4＋1＝455(个)．5．(一题多解)(2019·长沙市统一模拟考试)为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F，共6门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有________种不同的选法．解析：通解：根据题意，可分三类完成：(1)选A课程不选B课程，有C24种不同的选法；(2)选B课程不选A课程，有C24种不同的选法；(3)同时选A和B课程，有C14种不同的选法．根据分类加法计数原理，得C24＋C24＋C14＝6＋6＋4＝16(种)，故学生甲共有16种不同的选法．优解：从6门课程中选3门不同选法有C36种，而A和B两门课程都不选的选法有C34种，则学生甲不同的选法共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：166．(2019·郑州市第一次质量预测)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)解析：分两步完成：(1)《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》进行全排有A44种，若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有12A44种；(2)《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A24种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有12A44A24＝144(种)．答案：144排列、组合应用问题的8种常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法．(2)相邻问题捆绑法．(3)不相邻问题插空法．(4)定序问题缩倍法．(5)多排问题一排法．(6)“小集团”问题先整体后局部法．(7)构造模型法．(8)正难则反，等价转化法．[考法全练]1.x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80二项式定理解析：选C．Tr＋1＝Cr5(x2)5－r2xr＝Cr52rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C25×22＝40.2．(2019·武汉部分学校调研)若x4－1xxn的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()A．8B．10C．11D．12解析：选C．x4－1xxn的展开式的通项Tr＋1＝Crn(x4)n－r－1xxr＝(－1)rCrnx4n－112r，当4n－112r＝0，即n＝118r时展开式中存在常数项，所以n的最小值为11，选C．3．(2019·四省八校双教研联考)二项式(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中x4的系数为()A．120B．135C．140D．100解析：选B．(1－x)10的展开式的通项Tr＋1＝Cr10(－x)r＝(－1)rCr10xr，分别令r＝4，r＝3，r＝2，可得展开式中x4的系数为(－1)4C410＋(－1)3C310＋(－1)2C210＝135，故选B．4．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解析：选C．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C．5．若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝()A．80B．120C．180D．240解析：选D．由(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5两边求导，可得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋5a5x4，令x＝1得，15×(3－1)4＝a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝240，故选D．6．(2019·广州市调研测试)已知(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________．解析：因为(2x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以取x＝1得(2＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)①；取x＝－1得(2－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)②.①②相乘得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋2)4×(2－2)4＝[(2)2－22]4＝16.答案：16对于“多项式乘二项式”型的二项式问题，通用的解法是系数配对法，即将多项式中的每一项xk的系数与后面二项式展开式中xr－k的系数相乘，然后把所有这些满足条件的情况相加，即得到xr项的系数．[提醒]关注2个常失分点：(1)混淆“项的系数”与“二项式系数”概念，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．(2)注意“常数项”“有理项”“系数最大的项”等概念．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播