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数学第一部分基础考点自主练透第2讲集合、复数、常用逻辑用语01研考点考向破重点难点02练典型习题提数学素养[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4x2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N＝()A．{x|－4x3}B．{x|－4x－2}C．{x|－2x2}D．{x|2x3}解析：选C．由x2－x－60，得(x－3)(x＋2)0，解得－2x3，即N＝{x|－2x3}，所以M∩N＝{x|－2x2}．故选C．集合2．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3}D．{1，2，3，4}解析：选D．因为A∩C＝{－1，1，2，3，5}∩{x∈R|1≤x3}＝{1，2}，所以(A∩C)∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故选D．3．(2019·郑州市第二次质量预测)已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，则A∩(∁UB)＝()A．(－1，0)B．[0，1)C．(0，1)D．(－1，0]解析：选D．A＝{x|1－x20}＝(－1，1)，B＝{y|y0}，所以∁UB＝{y|y≤0}，所以A∩(∁UB)＝(－1，0]，故选D．4．(一题多解)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：选A．法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3，又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A．法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A．5．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝1－x＋x－1}，则()A．M⊆NB．N⊆MC．M＝ND．N∈M解析：选B．因为集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝1－x＋x－1}＝{0}，所以N⊆M.故选B6．(一题多解)(2019·安徽省考试试题)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，3]D．[3，＋∞)解析：选B．法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1，故选B．法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3时，满足A∩B≠∅，因此排除A，C．当a＝1时，满足A∩B≠∅，排除D．故选B．集合问题的求解策略(1)连续数集借助数轴，不连续数集借助Venn图．(2)图形或图象问题用数形结合法．(3)新定义问题要紧扣定义进行逻辑推理或运算．[提醒]解决集合问题要注意以下几点．(1)集合元素的互异性．(2)不能忽略空集．(3)注意端点的取值，如题3中，A∩(∁UB)中含有元素0.(4)理解代表元素的意义，如题4为点集，其他各题均为数集．[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i解析：选D．由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝2i(1－i)2＝i(1－i)＝1＋i.故选D．复数2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则z－＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i解析：选D．因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以z－＝－1－2i，故选D．3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B．12C．1D．2解析：选C．法一：因为z＝1－i1＋i＋2i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C．法二：因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i＋2i(1＋i)1＋i＝－1＋i1＋i，所以|z|＝|－1＋i1＋i|＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1.故选C．4．(2019·漳州模拟)已知i是虚数单位，且z＝2＋4i(1＋i)2，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A．z＝2＋4i(1＋i)2＝2＋4i2i＝1＋2ii＝－i(1＋2i)－i2＝2－i，则z－＝2＋i，所以z－对应的点在第一象限．故选A．5．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：选C．由已知条件，可得z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C．6．(2019·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部是0，故a＝2.答案：2复数代数形式的2种运算方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．[提醒](1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化．(2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i等要熟记．(3)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．[考法全练]1．(2019·沈阳市质量监测(一))设命题p：∀x∈R，x2－x＋10，则﹁p为()A．∃x∈R，x2－x＋10B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x∈R，x2－x＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋10解析：选C．已知原命题p：∀x∈R，x2－x＋10，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定﹁p为∃x∈R，x2－x＋1≤0.常用逻辑用语2．(2019·广州市调研测试)下列命题中，为真命题的是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R，2xx2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．若x，y∈R，且x＋y2，则x，y中至少有一个大于1解析：选D．因为ex0恒成立，所以选项A错误．取x＝2，则2x＝x2，所以选项B错误．当a＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时ab无意义，所以也不可能推出ab＝－1；当ab＝－1时，变形得a＝－b，所以a＋b＝0，故a＋b＝0的充分不必要条件是ab＝－1，故选项C错误．假设x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这显然与已知x＋y2矛盾，所以假设错误，所以x，y中至少有一个大于1，故选项D正确．综上，选D．3．(2019·高考浙江卷)若a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．因为a0，b0，若a＋b≤4，所以2ab≤2＋b≤4.所以ab≤4，此时充分性成立．当a0，b0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝54.这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a0，b0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．4．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x0”是“|x－1|1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．由“x2－5x0”可得“0x5”；由“|x－1|1”可得“0x2”．由“0x5”不能推出“0x2”，但由“0x2”可以推出“0x5”，所以“x2－5x0”是“|x－1|1”的必要不充分条件．故选B．5．“不等式x2－x＋m0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m14B．0m1C．m0D．m1解析：选C．若不等式x2－x＋m0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m0，解得m14，因此当不等式x2－x＋m0在R上恒成立时，必有m0，但当m0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m0，故选C．6．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组x＋y≥6，2x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②﹁p∨q③p∧﹁q④﹁p∧﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④解析：选A．通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A．优解：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A．(1)充分条件与必要条件的三种判定方法定义法正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)集合法利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件等价法将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题(2)全称命题与特称命题真假的判定方法①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可．②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．[提醒]求解简易逻辑问题有以下几个易失分点：(1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念．(2)命题的否定与否命题是有区别的，“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．(3)全称或特称命题的否定，要否定结论并改变量词．(4)复合命题的真假判断依赖真值表．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放