画法几何及机械制图课件：第五章投影变换

第五章投影变换基本要求1.掌握换面法的基本原理与其变换规律。2.掌握换面法求线段实长、平面实形及对投影面倾角的方法。3.掌握用换面法解决一般空间几何元素的定位和度量问题。4.了解旋转法的基本原理与其变换规律。aabb两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd直线与平面的交点§3-1概述aabbaabbccabcdabdcaabbccddabcdabcd两平面夹角§3-1概述投影变换的基本方法有以下两种：1．空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为换面法。2．投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投影。这种方法称为旋转法。XV/H体系变为V1/H体系X1V1c1'b1'a1'A新投影面必须满足下列两条原则：①新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。②必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。BCacbc'b'a'HV一、换面法二、旋转法ABOOCa(b)oocc1c1'a'b'o'o'c'C1实形X1V1a1aaAVHX§3-2换面法一、换面法的基本概念用换面法解题时，新投影面必须满足下列两条原则：①新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。②必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。aa1、点的一次换面V1a1AVHXa1ax1VHXaaax点的换面规律：①点的新投影与不变投影的连线垂直于新的投影轴；②新投影到新投影轴的距离等于被更换的投影到旧轴的距离。二、换面法的基本规律——换V面1、点的一次换面aaa1HVa1VHXaaAX二、换面法的基本规律——换H面2、点的两次换面a2AXaa'a1'HVV1X1a2V/H→V1/H→V1/H2VHXa'aa1'二、换面法的基本规律换面法中的四个基本作图问题，主要是解决将直线及平面变换成对投影面处于特殊位置的问题。在变换过程中必须遵循点的变换规律。三、四个基本问题三、四个基本问题a1b1ABabb'a'a1b1VHXaba'b'作图特点：①新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角②求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影VH1、一般位置直线变换成平行线将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出角？a1b1aba'b'VHX三、四个基本问题VHXH1a1b1bbVHXaa作图特点：新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。a1b1三、四个基本问题2、将平行线变换成垂直线V1X1a1b1ababXVHa2b2必须经过两次变换若将一般位置的直线变换成投影面垂直线三、四个基本问题a2b2aba'b'VHX两次变换的作图三、四个基本问题cH1dc1a1b1d1ababcACDdVHXBacXVHbbacd作图特点:①取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。②若求平面对此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线。三、四个基本问题3、将一般位置平面变换成垂直面a作图特点：新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。V1X1c1'b1'a1'XHVbbaccABC三、四个基本问题4、将垂直面变换成投影面的平行面XHVabbaccABCa1'c1'b1'Xabca'b'c'变换的作图过程三、四个基本问题必须经过两次变换da2c2b2d2实形abcabcd三、四个基本问题如何将一般位置平面变换成投影面平行面四、换面法的应用应用换面法解题时，首先分析空间几何元素间的相互关系及位置，使几何元素处于何种位置时，才有利于解题，然后确定换面的具体步骤，应用上面的基本方法进行图解。下面展示了特殊位置的几何元素的投影，可直接反映其空间距离、角度等关系。aabbcc四、换面法的应用axxx(b)a(d)cabcdmnmne)f)a(b)bmmb)Laa(b)bxccddc)x(b)a(d)cabcdmnmnd)θθabcdcd(b)a(d)ef(f)eg)xθaabba)xL例题1例题2例题3例题4应用举例[例题1]已知多边形ABCDEF对H面的倾角α=45°,试完成多边形的正面投影。xOabcdefa'b'x1d1'(c1')f1'(e1')45°a1'(b1')f'e'd'c'应用举例[例题2]已知A与直线BC的投影，求点A到BC直线间的距离。c'2b'2a'2k'2距离kk'baa'b'c'cXHVa1b1c1k1空间分析应用举例ABFECD[例题3]求变形接头ABCD和ABEF之间的夹角，如图所示。cadbfea'(e')b'(f')d'c'xVHb1a1f1e1c1d1b2'(a2')e2'c2'd2'f2'θ应用举例[例题4]求交叉两直线AB和CD间的最短距离EF，如图所示。e'1f'1e2f2a2b2d2c2d'1c'1bfefeadcabcdXVHABCDa(b)cdf(e)FE§3-3旋转法ABOOCa(b)oocc1c1'a'b'o'o'c'C1旋转法就是投影面不动，通过旋转使几何元素对投影面处于有利于解题的特殊位置。这里只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。一、旋转法的基本概念二、点的旋转θθAA1OOPaa1oa'a1'o'o'aa'o'o'oθxoa1a1'aoθa1a1'ooxoa'点绕投影面垂直轴旋转的投影规律：1）点的旋转轨迹在轴所垂直的投影面上的投影，反映圆的实形。2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。HααθOOABθθA1B1k1abkoa1b1三、直线与平面的旋转直线与平面的旋转规律：1）旋转时直线与平面上各点必须绕同一轴线、朝同一方向、转同一角度。2）在轴线所垂直的投影面上的投影大小不变，对该投影面的倾角也不变。xθoabk1ka'b'o'o'a1'θa1b1b1'θ1.旋转规律三、直线与平面的旋转2.不指明轴旋转根据直线与平面旋转时的三同规律和不变性，可将旋转后的投影移到某个合适的位置。但要使投影的形状和大小不变，而另一投影仍按旋转规律作图。这种作图方法称为不指明旋转轴法或平移法xa'b'a1'b1'o'o'oc'abca1b1c1c1'四、四个基本问题1.将一般位置直线变为投影面平行线xoabb1a'b'b1'o'o'一般直线旋转成投影面平行线作图特点：●求直线对某投影面的倾角，旋转轴必须垂直于该投影面。o四、四个基本问题2.将投影面的平行线变换成投影面垂直线xoaba'b'ooa1'o'a1()平行线旋转成垂直线的作图特点：1）旋转轴必须垂直于直线实长所在的那个投影面。2）将反映直线实长的投影旋转成与投影轴线垂直。问题：如何将一般位置直线旋转成投影面的垂直线？四、四个基本问题3.将一般位置平面变换成投影面垂直面xabcooa1b1a'b'nn'n1'a1'b1'c'o'o一般位置平面旋转成垂直面的作图特点：1）在平面上取一条投影面的平行线，将该线变成垂直线2）求对某个投影面的倾角，必须取对该投影面的平行线四、四个基本问题4.将投影面垂直面变换成投影面平行面xabca1c1c1'oa1'b'a'c'垂直面旋转成投影面平行面的作图特点：●将平面有积聚性的投影旋转到平行于投影轴的位置问题：如何将一般位置平面旋转成投影面的平行面？五、应用举例[例题5]过点A作AK与已知直线BC垂直相交，如图所示。abcmb1c1m1a'b'c'b1'c1'k1'a1'k1a1k'kxo[例题6]试将点D绕所设OO轴旋转到已知平面ΔABC上，如图所示。五、应用举例xoabcoa'b'c'o'o'e'f'efd'dd'd1[例题7]试过A点作直线AC⊥AB，并使直线AC与H面的倾角α=45°，且点C在H面内，求直线AC的两面投影。如图所示。五、应用举例xoaba'b'θθc1'b1'c'45°c1cb1分析：与H面倾角α=45°的直线AC，必在轴线过A点且垂直于H面的锥面上，锥底圆在H面内。锥面上的一直线AC⊥AB，若直线AB绕锥轴线旋转成正平线时，其AC与AB的正面投影反映直角，AC在旋转过程中的倾角α不变。将所求AC1的投影返回即可对应作出AC的两面投影。