（新高考）2020高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第二讲 小题考法（二）——基本初等函数、函数

第二讲小题考法(二)——基本初等函数、函数与方程一、高考真题集中研究——明规律题组(一)基本初等函数1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．abcB．acbC．cabD．bca解析：因为a＝log20.2log21＝0，b＝20.220＝1,0c＝0.20.30.20＝1，所以acb.故选B.答案：B2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z解析：法一：特值法令x＝1，则由已知条件可得3y＝2,5z＝2，所以y＝ln2ln3，z＝ln2ln5，从而3y＝3ln2ln3＝ln23ln3ln9ln3＝2,5z＝5ln2ln5＝ln25ln52，则3y2x5z，故选D.法二：数形结合法由2x＝3y＝5z，可设(2)2x＝(33)3y＝(55)5z＝t，因为x，y，z为正数，所以t1，因为2＝623＝68，33＝632＝69，所以233；因为2＝1025＝1032，55＝1025，所以255，所以55233.分别作出y＝(2)x，y＝(33)x，y＝(55)x的图象，如图．由图象易知3y2x5z.答案：D3．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab解析：因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数知，ba；又因为a＝243＝423，c＝2513＝523，由函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数知，ac.综上得bac.故选A.答案：A4．(2016·全国卷Ⅰ)若ab1,0c1，则()A．acbcB．abcbacC．alogbcblogacD．logaclogbc解析：法一：∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当ab1,0c1时，acbc，选项A不正确；∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当ab1,0c1，即－1c－10时，ac－1bc－1，即abcbac，选项B不正确；∵ab1，∴lgalgb0，∴algablgb0，∴algbblga.又∵0c1，∴lgc0.∴algclgbblgclga，∴alogbcblogac，选项C正确；同理可证logaclogbc，选项D不正确．法二：依题意，不妨取a＝4，b＝2，c＝12，易验证A、B、D均是错误的，只有C正确．答案：C[怎么考]主要考查利用基本初等函数的性质比较大小问题．解决利用指、对、幂函数的性质比较大小问题时，均涉及指数与对数的运算，而特值法(找中间值)是比较简单的一种方法．题组(二)函数零点1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.答案：C2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B．13C.12D．1解析：法一：由函数f(x)有零点，得x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，即(x－1)2－1＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，令t＝x－1，则上式可化为t2－1＋a(et＋e－t)＝0，即a＝1－t2et＋e－t.令h(t)＝1－t2et＋e－t，易得h(t)为偶函数，又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y＝a有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a＝1－02＝12，故选C.法二：由f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．综上所述，a＝12.法三：由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝12.答案：C3．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意可知，当3x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋π6∈π6，19π6，∴当3x＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f(x)＝0，即函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为3.答案：3[怎么考]此类问题主要涉及函数零点个数的判断或已知函数零点的个数求参数值(或取值范围)，难度较大，考查考生的直观想象的核心素养和数形结合的思想．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)基本初等函数的图象与性质[典例](1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a0，且a≠1)的图象可能是()[解析]法一：当a1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y＝1ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝logax＋12的图象过定点12，0，在－12，＋∞上单调递增．显然A、B、C、D四个选项都不符合．当0a1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，于是函数y＝1ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，函数y＝logax＋12的图象过定点12，0，在－12，＋∞上单调递减．因此，选项D中的两个图象符合，故选D.[答案]D法二：易知a与1a必有1个大于1,1个小于1，则f(x)＝1ax与g(x)＝logax＋12在各自定义域内单调性相反，可排除B；由g12＝0可排除A、C.故选D.(2)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．cab[解析]a＝log52log55＝12，而c＝0.50.20.51＝12，故ac；b＝log0.50.2log0.50.25＝2，而c＝0.50.20.50＝1，故cb.所以acb.[答案]A(3)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln(x1＋1)，e－x2＝lgx2，e－x3＝lnx3，则()A．x3x2x1B．x2x1x3C．x3x1x2D．x1x3x2[解析]根据题意可知，实数x1，x2，x3分别是函数y＝e－x与y＝ln(x＋1)，y＝lgx，y＝lnx图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中作出函数y＝e－x，y＝ln(x＋1)，y＝lgx，y＝lnx的图象如图所示，由图知，x1x3x2，故选D.[答案]D[解题方略]基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1两种情况讨论：当a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同．[集训冲关]1．已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则()A．πe3eB．3e－2π3πe－2C．logπelog3eD．πlog3e3logπe解析：对于选项A，函数y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，所以πe3e，故选项A错误；对于选项B,3e－2π3πe－2，两边同时除以3π可得3e－3πe－3，由函数y＝xe－3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B错误；对于选项C，由logπelog3e可得1lnπ1ln3，所以lnπln3，而函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故选项C错误；对于选项D，由πlog3e3logπe可得πln33lnπ，所以πlnπ3ln3，所以ππ33，故选项D正确．故选D.答案：D2．(2019·福建五校第二次联考)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．bcaD．cab解析：a＝log372，c＝log1315＝log35，由对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，可得log35log372log33，所以ca1.借助指数函数y＝14x的图象易知b＝1413∈(0,1)，故cab，选D.答案：D3．(2019·重庆模拟)已知函数f(x)＝2x＋log32＋x2－x，若不等式f1m3成立，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C.0，12D．12，1解析：由2＋x2－x0得x∈(－2,2)，又y＝2x在(－2,2)上单调递增，y＝log32＋x2－x＝log3x－2＋42－x＝log3－1－4x－2在(－2,2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式f1m3成立等价于不等式f1mf(1)成立，所以－21m2，1m1，解得12m1，故选D.答案：D考点(二)函数的零点问题[典例](1)设函数f(x)＝|lnx|，x0，exx＋1，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是()A．(1，＋∞)B．－1e2，0C．{0}∪(1，＋∞)D．(0,1][解析](1)当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为(－2,0)，由f′(x)0，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x－1时，f(x)0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0,1]，故选D.[答案](1)D(2)(2019·长春质监)已知函数f(x)＝x－1x－2与g(x)＝1－sinπx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2,6]上所有零点的和为()A．4B．8C．12D．16[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出