（新高考）2020高考数学二轮复习 题型篇 专题一 三角函数与解三角形 第三讲 大题考法——解三角形

第三讲大题考法——解三角形题型(一)三角形基本量的求解问题[典例](2019·福州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a－c)(a2－b2＋c2)＝2abccosC.(1)求角B的大小；(2)若sinA＋1－3cosC＋32＝0，求ba的值．[解](1)因为(2a－c)(a2－b2＋c2)＝2abccosC，所以2a－ca2＋c2－b22ac＝bcosC.所以(2a－c)cosB＝bcosC.由正弦定理得2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，因为sinA≠0，所以cosB＝12，因为0°B180°，所以B＝60°.(2)因为sinA＋1－3cosC＋32＝0，所以sinA＋1－3cosC－32＝0，即sinA－3cosC＝12.因为B＝60°，所以C＝120°－A，所以cosC＝－cos(A＋60°)，所以sinA＋3cos(A＋60°)＝12，所以sinA＋32cosA－32sinA＝12，所以32cosA－12sinA＝12，即cos(A＋30°)＝12，所以A＝30°，所以ba＝sinBsinA＝sin60°sin30°＝3212＝3.[思维流程]用正、余弦定理求解三角形基本量的步骤及方法[对点训练]1．(2019·济南模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcosA.(1)求角B的大小；(2)若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．解：(1)由2c＋a＝2bcosA及正弦定理，得2sinC＋sinA＝2sinBcosA，又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以2sinAcosB＋sinA＝0，因为sinA≠0，所以cosB＝－12，因为0Bπ，所以B＝2π3.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝72.因为cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD＝192.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB＝(3a－b)cosC.(1)求sinC的值；(2)若c＝26，b－a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为ccosB＝(3a－b)cosC，所以由正弦定理得sinCcosB＝(3sinA－sinB)cosC，即sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosC，所以sin(B＋C)＝3sinAcosC，因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，则sinA＝3sinAcosC.因为sinA≠0，所以cosC＝13.所以sinC＝1－cos2C＝223.(2)由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及c＝26，cosC＝13，得a2＋b2－23ab＝24，即(a－b)2＋43ab＝24.因为b－a＝2，所以ab＝15.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×15×223＝52.题型(二)与解三角形有关的最值、范围问题[典例](2019·福州质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝32.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围．[解](1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以B＝π3.根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝bsinB＝32sinπ3＝1.(2)法一：三角函数法由B＝π3，知A＋C＝2π3，可得0A2π3.由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，asinA＝bsinB＝csinC＝1，所以a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin2π3－A＝332sinA＋12cosA＝3sinA＋π6.因为0A2π3，所以π6A＋π65π6.所以12sinA＋π6≤1，从而323sinA＋π6≤3，所以a＋c的取值范围是32，3.法二：基本不等式法由(1)知，B＝π3，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a＋c22＝14(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，因为b＝32，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32a＋c≤3，所以a＋c的取值范围是32，3.[规律方法]利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值、范围问题，一般是指先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换等，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等式等来处理．破解此类题的关键点如下：定基本量根据题意或几何图形理清三角形中的边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的变化范围构建函数将待求范围的变量，根据正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数关系式求最值、范围利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求最值、范围[对点训练]1．(2019·合肥质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝2csinC，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求△ABC周长的取值范围．解：(1)由S＝abc＝12absinC，可得2c＝sinC，∴sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C，由正弦定理得a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理得cosC＝－12，∴C＝2π3.(2)由(1)知2c＝sinC，同理可知2a＝sinA,2b＝sinB．△ABC的周长为a＋b＋c＝12(sinA＋sinB＋sinC)＝12sinA＋sinπ3－A＋34＝12sinA＋32cosA－12sinA＋34＝1212sinA＋32cosA＋34＝12sinA＋π3＋34.∵A∈0，π3，∴A＋π3∈π3，2π3，∴sinA＋π3∈32，1，∴△ABC周长的取值范围为32，2＋34.2．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2csinB＝3atanA.(1)求b2＋c2a2的值；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由2csinB＝3atanA，得2csinBcosA＝3asinA，结合正弦定理得2bccosA＝3a2，故2bc×b2＋c2－a22bc＝3a2，b2＋c2＝4a2，得b2＋c2a2＝4.(2)由(1)及a＝2知，b2＋c2＝16，故cosA＝b2＋c2－a22bc＝6bc.又b2＋c2≥2bc，故8≥bc，当且仅当b＝c时取等号，∴cosA≥68＝34.由cosA＝6bc，得bc＝6cosA，且A∈0，π2，∴S△ABC＝12bcsinA＝3tanA.∵1＋tan2A＝1＋sin2Acos2A＝cos2A＋sin2Acos2A＝1cos2A，∴tanA＝1cos2A－1≤169－1＝73，∴S△ABC＝3tanA≤7，即△ABC面积的最大值为7.题型(三)以平面几何为载体的解三角形问题[典例]如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝5714，cos∠AMC＝－277.(1)求∠B的大小；(2)若AM＝21，求△AMC的面积．[解](1)由cos∠BAM＝5714，得sin∠BAM＝2114，由cos∠AMC＝－277，得sin∠AMC＝217.又∠AMC＝∠BAM＋∠B，所以cos∠B＝cos(∠AMC－∠BAM)＝cos∠AMCcos∠BAM＋sin∠AMCsin∠BAM＝－277×5714＋217×2114＝－12，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝2π3.(2)法一：直接法由(1)知∠B＝2π3，在△ABM中，由正弦定理AMsin∠B＝BMsin∠BAM，得BM＝AMsin∠BAMsin∠B＝21×211432＝3.因为M是边BC的中点，所以MC＝3.故S△AMC＝12AM·MC·sin∠AMC＝12×21×3×217＝332.法二：等价转化法由(1)知∠B＝2π3，在△ABM中，由正弦定理AMsin∠B＝BMsin∠BAM，得BM＝AMsin∠BAMsin∠B＝21×211432＝3.因为M是边BC的中点，所以S△AMC＝S△ABM，所以S△AMC＝S△ABM＝12AM·BM·sin∠BMA＝12×21×3×217＝332.[规律方法]求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．[对点训练]1.如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝74.(1)求AC的长；(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．解：(1)因为cos∠ACB＝74，所以sin∠ACB＝34，由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，得AC＝ABsin∠ACBsin∠ABC＝2.(2)因为CD⊥BC，所以∠ACD＝90°－∠ACB，所以cos∠ACD＝sin∠ACB＝34.设AD＝2m，则CD＝3m.由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD·cos∠ACD，即4m2＝4＋9m2－2×2×3m×34，解得m＝1或m＝45.当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝74，S△ACD＝12·AC·CDsin∠ACD＝374.当m＝45时，CD＝125，sin∠ACD＝74，S△ACD＝12·AC·CDsin∠ACD＝375.综上，△ACD的面积为374或375.2.如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE.CB＝2，BE＝1，∠B＝∠CED＝2π3.(1)求sin∠AED的值；(2)若AB∥CD，求CD的长．解：(1)在△BEC中，由余弦定理得，CE＝CB2＋BE2－2CB·BEcos∠B＝7，又BEsin∠BCE＝CEsin∠B，所以sin∠BCE＝2114，因为∠B＝∠CED，所以sin∠AED＝sin∠BCE＝2114.(2)因为AB∥CD，所以∠CDE＝∠AED，所以sin∠CDE＝sin∠AED＝2114.在△CDE中，CDsin∠CED＝CEsin∠CDE，所以CD＝CEsin∠CEDsin∠CDE＝7×322114＝7.[归通法·保规范·赢满分]解三角形问题重在“变”——变角、变式[循流程思维——入题快]尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．[按流程解题——快又准][典例]2019·全国卷Ⅲ△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.1求B；2若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.[解题样板](1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA．❶因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝