（新高考）2020高考数学二轮复习 题型篇 专题五 解析几何 第二讲 小题考法（二）——圆锥曲线的方

第二讲小题考法(二)——圆锥曲线的方程与性质一、高考真题集中研究——明规律题组(一)椭圆1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1解析：法一：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，AF2―→＝2F2B―→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.法二：由题意设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，解得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.答案：B2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B．12C.13D．14解析：如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.答案：D3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B．33C.23D．13解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2abb2＋a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝1－b2a2＝63.答案：A4．(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B．12C.23D．34解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得|MF||OE|＝|AF||AO|，则|MF|＝ma－ca.①又由OE∥MF，得12|OE||MF|＝|BO||BF|，则|MF|＝ma＋c2a.②由①②得a－c＝12(a＋c)，即a＝3c，∴e＝ca＝13.故选A.答案：A5．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆x236＋y220＝1上，所以联立方程可得x＋42＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得x＝3，y＝±15.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．答案：(3，15)[怎么考]对椭圆的考查主要包括椭圆定义的应用、椭圆的标准方程及椭圆离心率的求法，且常伴随考查直线与椭圆的位置关系．在解关于椭圆离心率的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍及注意根与系数的关系和点差法的应用．题组(二)双曲线1．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.32B．52C.72D．92解析：由F是双曲线x24－y25＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则x20＋y20＝3，x204－y205＝1，解得x20＝569，y20＝259，所以P2143，53，所以S△OPF＝12|OF|·y0＝12×3×53＝52.答案：B2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B．3C．2D．5答案：A解析：设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝c2.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得c22＋c22＝a2，故ca＝2，即e＝2.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x23－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.32B．3C．23D．4解析：因为双曲线x23－y2＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝33x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，由y＝－3x－2，y＝33x，得x＝32，y＝32，所以M32，32，所以|OM|＝322＋322＝3，所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.答案：B4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x解析：∵e＝ca＝a2＋b2a＝3，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝2a.∴渐近线方程为y＝±2x.答案：A5．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2C.3D．2解析：不妨设一条渐近线的方程为y＝bax，则F2到y＝bax的距离d＝|bc|a2＋b2＝b.在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝a2＋c2－6a22ac＝－cos∠POF2＝－ac，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝ca＝3.答案：C6．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A―→＝AB―→，F1B―→·F2B―→＝0，则C的离心率为________．解析：∵F1B―→·F2B―→＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得|BH||OH|＝ba，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．又∵F1A―→＝AB―→，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴ba＝bc－a，∴c＝2a，∴离心率e＝ca＝2.答案：2[怎么考]与双曲线有关的问题是每年必考的内容，主要考查双曲线的定义、标准方程、渐近线及离心率，多以小综合的形式出现，有时会结合圆、向量考查，既有容易题，有时也以压轴题形式出现，主要考查考生的数学运算、直观想象的核心素养及数形结合思想的应用．题组(三)抛物线1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.答案：D2．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0，42)，|FN|＝4＋32＝6.答案：63．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.解析：法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，∴y21－y22＝4(x1－x2)，∴k＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2.设AB中点M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，则|MM′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA′|＋|BB′|)．∵M′(x0，y0)为AB中点，∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，∴y1＋y2＝2，∴k＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝2k2＋4k2.由M(－1,1)，得AM―→＝(－1－x1,1－y1)，BM―→＝(－1－x2,1－y2)．由∠AMB＝90°，得AM―→·BM―→＝0，∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，∴1＋2k2＋4k2＋1＋k21－2k2＋4k2＋1－k2k2＋4k2－2＋1＝0，整理得4k2－4k＋1＝0，解得k＝2.答案：2[怎么考]高考很少单独考查抛物线的标准方程和性质，而是将抛物线与其他曲线相综合考查，多涉及直线与抛物线的位置关系．解关于直线与抛物线的位置关系的问题时，应注意：(1)直线与抛物线只有一个公共点有两种情况：①切线，②与对称轴平行或重合的直线；(2)涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解；(3)焦点弦长公式要依据抛物线的方程选择．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)圆锥曲线的定义[大稳定——常规角度考“四基”]1．[椭圆的定义]设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为()A.514B．59C.49D．513解析：如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以O