（新高考）2020高考数学二轮复习 方法篇 技法（一）抛砖引玉 活用特例课件

①通方法是学科核心素养的直接体现数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这6大素养无不指向学习方法的培养和学习能力的落实，近几年数学高考，显性考知识，隐性考素养．谁的素养高人一筹，谁的成绩超人一码．②通方法是未来完胜高考的必备技能考场失分主要表现在两方面：一是不会做，二是没做完．尤其是近几年高考卷面文字阅读量越来越大，理解分析能力要求越来越高，这就要求考生在平时的训练和考试中不仅要准做，更要快做，以应对容量越来越大的高考．谁的技法高人一招，谁的速度快人一步．技法(一)抛砖引玉·活用特例方法概述所谓特例法，又叫特殊化法，就是当我们面临一道难以入手的一般性题目时，可以从一般退到特殊，先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径应用题型(1)选择题或填空题；(2)在解答题中，当求解目标尚未明确时，往往需要考查题设条件中所含参变因素的某些特殊情况或极端情况方法一取特殊数值[例1]设f(x)＝log2[4x－1]，x≥2，12x＋1，x2，若f(x0)3，则x0的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(0,2)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)[常规解法]当x0≥2时，log2[4(x0－1)]3，即log24＋log2(x0－1)3，∴log2(x0－1)1，∴x0－12，即x03.当x02时，12x0＋13，即12x02，∴x0－1.综上可知x03或x0－1，即x0的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．[提速解法]取x0＝1，则f(1)＝12＋1＝323，故x0≠1，排除B、D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A，故选C.[答案]C[例2]在数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋ln1＋1n－1(n≥2)，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn[常规解法]∵an＝an－1＋ln1＋1n－1，∴an－an－1＝ln1＋1n－1＝lnnn－1＝lnn－ln(n－1)．又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn.[提速解法]不妨取n＝2，则a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，选项A、B符合，C、D不符合，排除C、D；再取n＝3，则a3＝a2＋ln32＝2＋ln3，选项B中，a3＝2＋2ln3，不符合，排除B，故选A.[答案]A方法二取特殊点[例3]函数f(x)＝|1－x2|1－|x|的图象是()[常规解法]f(x)＝|1－x2|1－|x|＝|1－x1＋x|1－|x|.当x1时，f(x)＝－x－1；当x－1时，f(x)＝x－1；当0≤x1时，f(x)＝x＋1；当－1x≤0时，f(x)＝－x＋1，画出f(x)的图象可知C图符合．[提速解法]因为x≠±1，所以排除A；因为f(0)＝1，所以排除D；因为f12＝1－1221－12＝32，所以排除B，故选C.[答案]C[例4]如图，点P为椭圆x225＋y29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于D，E两点，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积为S2，则S1∶S2＝()A．1B．2C.12D．13[常规解法]设P(x，y)，由题意可知直线AB的方程为x5＋y3＝1，∴D5－53y，y，Ex，3－35x.又∵N(5，y)，M(x,3)，∴S△ADN＝12×y×53y＝56y2，S梯形ACME＝12×35x＋3×(5－x)＝310(25－x2)．∵P(x，y)在椭圆上，∴x225＋y29＝1，∴y2＝9－9x225，∴56y2＝310(25－x2)．∴S△ADN＝S梯形ACME.∵矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，∴S1∶S2＝1∶1.[提速解法]不妨取点P4，95，则可计算S1＝3－95×(5－4)＝65.由题易得PD＝2，PE＝65，所以S2＝12×2×65＝65，所以S1∶S2＝1.[答案]A方法三取特殊函数[例5]若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：①“影子函数”f(x)的值域可以是R；②“影子函数”f(x)可以是奇函数；③若y＝f(x)，y＝g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)是“影子函数”．上述命题正确的序号是()A．①B．②C．③D．②③[解析]对于①：假设“影子函数”的值域为R，则存在x1，使得f(x1)＝0，此时不存在x2，使得f(x1)f(x2)＝1，所以①错误；对于②：函数f(x)＝x(x≠0)，对任意的x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x2＝1x1，则f(x1)f(x2)＝1，又因为函数f(x)＝x(x≠0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②正确；对于③：函数f(x)＝x(x0)，g(x)＝1x(x0)都是“影子函数”，但F(x)＝f(x)g(x)＝1(x0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0，＋∞)，存在无数多个x2∈(0，＋∞)，使得F(x1)·F(x2)＝1)，所以③错误．[答案]B方法四取特殊位置[例6]已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且AP―→＝mAB―→，AQ―→＝nAC―→，则1m＋1n＝()A．3B．4C．5D．13[常规解法]分别过点B，C作BM∥AD，CN∥AD，分别交PQ于点M，N.∵D是BC的中点，∴DE是梯形CNMB的中位线．又AP―→＝mAB―→，AQ―→＝nAC―→，∴m＝|AP―→||AB―→|，n＝|AQ―→||AC―→|，∴1m＋1n＝|AB―→||AP―→|＋|AC―→||AQ―→|＝|AP|＋|BP||AP|＋|AQ|＋|QC||AQ|＝1＋|BP||AP|＋1＋|QC||AQ|＝2＋|BP||AP|＋|QC||AQ|＝2＋|BM||AE|＋|CN||AE|＝2＋|BM|＋|CN||AE|＝2＋2|DE||AE|＝2＋|AE||AE|＝2＋1＝3.[提速解法]由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图(1)，令PQ∥BC，则AP―→＝23AB―→，AQ―→＝23AC―→，此时，m＝n＝23，故1m＋1n＝3.法二：如图(2)，直线BE与直线PQ重合，此时，AP―→＝AB―→，AQ―→＝12AC―→，故m＝1，n＝12，所以1m＋1n＝3.[答案]A[例7]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A．3∶1B．2∶1C．4∶1D．3∶1[常规解法]设三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V，∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，故四棱锥C­PQBA的体积等于三棱锥C­ABA1的体积，等于13V，则几何体CPQ­C1B1A1的体积等于23V，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1.[提速解法]将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC­AA1B＝VA1­ABC＝13VABC­A1B1C1.因此过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1.[答案]B方法五取特殊图形[例8]AD，BE分别是△ABC的中线，若|AD―→|＝|BE―→|＝1，且AD―→与BE―→的夹角为120°，则AB―→·AC―→＝___________.[常规解法]由已知得BA―→＋BC―→＝2BE―→，AB―→＋AC―→＝2AD―→，BC―→＝AC―→－AB―→，解得AB―→＝23AD―→－23BE―→，AC―→＝43AD―→＋23BE―→，所以AB―→·AC―→＝89|AD―→|2－49|BE―→|2－49AD―→·BE―→＝23.[提速解法]若△ABC为等边三角形，则|AB―→|＝233，∴AB―→·AC―→＝|AB―→||AC―→|cos60°＝23.[答案]23[应用体验]1．动点A在双曲线x2m2－y2n2＝1上，B，C为其左、右焦点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝10，c－b＝6，则tanB2tanC2＝()A.14B．12C.34D．1解析：由题意得双曲线的方程为x29－y216＝1，取特殊位置AC⊥BC，可得C＝π2，则a2＋b2＝(6＋b)2，解得b＝163，故tanB＝815，则tanB2＝14，所以tanB2tanC2＝14.答案：A2．若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f[g(x)]＝0有实数解，则g[f(x)]的解析式不可能是()A．y＝x2＋x－15B．y＝x2＋x＋15C．y＝x2－15D．y＝x2＋15解析：法一：设x0为方程x－f[g(x)]＝0的一个实根，则f[g(x0)]＝x0.设g(x0)＝t0，则f(t0)＝x0.所以g(x0)＝g[f(t0)]＝t0，即g[f(t0)]－t0＝0，这说明方程g[f(x)]－x＝0至少有一个实根t0，而对于选项B，当g[f(x)]＝x2＋x＋15时，方程x2＋x＋15＝x无实根，故选B.答案：B法二：取特殊函数法．令f(x)＝x，即可把原题改写为x－g(x)＝0有实数解，g(x)不可能是哪个代数式．A、C、D均可使x－g(x)＝0有实数解，只有B不能使x－g(x)＝0有实数解，故选B.答案：B3．设f(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则使所有x均满足不等式xf(x)≤g(x)的函数g(x)为()A．sinxB．xC．x2D．|x|解析：若g(x)＝sinx，应有xf(x)≤sinx，取x＝2，则f(x)＝1，于是2≤sin2，矛盾，排除A；若g(x)＝x，应有xf(x)≤x，取x＝－2，则f(x)＝0，于是0≤－2，矛盾，排除B；若g(x)＝x2，取x＝0.2，则0.2≤0.22，矛盾，排除C.故选D.答案：D4．cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)＝__________.解析：令α＝0°，则原式＝32.答案：325．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB―→·AC―→＝________.解析：将△ABC视作特殊的三角形：边AB＝AC的等腰三角形，如图，则AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34.由余弦定理得cos∠BAC＝34＋34－1002×34＝－817，所以AB―→·AC―→＝34×34×－817＝－16.答案：－166．椭圆x29＋y24＝1的焦点为F1，F2，点P为其上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___________________．解析：设P(x，y)，则当∠F1PF2＝90°时，点P的轨迹方程为x2＋y2＝5，由此可得点P的横坐标x＝±355.又当点P在x轴上时，∠F1PF2＝0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是－355，355.答案：－355，355