（新高考）2020高考数学二轮复习 方法篇 技法（五）蹊径可辟 分割补形课件

技法(五)蹊径可辟·分割补形方法概述所谓割补法就是把一个复杂面积或体积的计算分割成若干个简单图形的有关计算或将一个不易求出面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形．也就是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形或几何体．例如，把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平行六面体、把多面体切割成锥体(特别是三棱锥)、把不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的应用题型在解决几何问题过程中，割补法是一种常用的方法．无论是平面几何、解析几何、还是立体几何，适时使用割补法，能帮助我们找到问题的突破口，把问题放到特殊的几何图形中，借助特殊图形分析问题，有时会柳暗花明，事半功倍方法一分割法[例1](1)为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是()A.3＋64km2B．3－64km2C.6＋34km2D．6－34km2[解析]如图，连接AC.在△ABC中，根据余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3km，又AB＝2km，BC＝1km，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故∠DAC＝∠DCA＝15°.所以△ADC为等腰三角形，且∠D＝150°，设AD＝DC＝xkm，根据余弦定理得x2＋x2＋3x2＝3，即x2＝32＋3＝3(2－3)．所以小区的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34(km2)．[答案]D(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则多面体的体积为()A.23B．33C.43D．32[解析]如图，在EF上取点M，N，使EM＝FN＝12，连接MA，MD，NB，NC，则MN＝1，三棱柱ADM­BCN是直三棱柱，DM＝AM＝AE2－EM2＝32.设H为AD的中点，连接MH，则MH⊥AD，且MH＝AM2－AH2＝22，∴S△ADM＝12AD·MH＝24.∴VABCDEF＝2VE­ADM＋VADM­BCN＝2×13×24×12＋24×1＝23.[答案]A方法二补形法[例2](1)如图，正三棱锥S­ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°[解析]如图，把正三棱锥S­ABC补成一个正方体AGBH­A1CB1S.∵EF∥AA1，∴异面直线EF与SA所成的角为45°.[答案]C(2)在正三棱锥S­ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC＝43，则此正三棱锥的外接球的表面积为________．[解析]由正三棱锥中侧棱SC⊥侧面SAB，可得三条侧棱SA，SB，SC两两垂直．又三条侧棱相等，故可以三条侧棱为相邻三边作出一个正方体SBDC­AEFG，如图所示，其棱长为43，其外接球的直径就是此正方体的体对角线，所以2R＝432＋432＋432＝12，即球半径R＝6，所以球的表面积S＝4πR2＝144π.[答案]144π[应用体验]1.(2019·武汉4月调研)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD中点，则四面体A­BC1M的体积为()A.12B.14C.16D．112解析：∵M为CD中点，∴S△ABM＝12S▱ABCD＝12，又CC1⊥平面ABCD，∴VA­BC1M＝VC1­ABM＝13S△ABM·CC1＝16.故选C.答案：C2.如图，已知多面体ABCDEFG，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()A．2B．4C．6D．8解析：如图，把多面体ABCDEFG补成正方体DEPG­ABHM，则VABCDEFG＝12VDEPG­ABHM＝12×23＝4.答案：B3.如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，∠BCA＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，若BC＝CA＝CC1，则B1E与A1F所成的角的余弦值为________．解析：如图，把直三棱柱A1B1C1­ABC补成一个直平行六面体A1B1D1C1­ABDC，取BD中点G，连接B1G，则B1G∥A1F，∠EB1G即为B1E与A1F所成的角(或其补角)．设BC＝CA＝CC1＝2a，则B1G＝2a2＋a2＝5a，AB＝2a2＋2a2＝22a，B1E＝2a2＋2a2＝6a，GE2＝BG2＋BE2－2BG·BE·cos135°＝5a2，所以cos∠EB1G＝B1G2＋B1E2－GE22B1G·B1E＝3010，故B1E与A1F所成角的余弦值为3010.答案：30104．棱长为a的正四面体的内切球的体积为________．解析：设内切球的半径为r，正四面体每个面的面积为12×a×a×sin60°＝34a2，高为63a，所以正四面体的体积为13×34a2×63a＝212a3.连接内切球的球心与四面体4个顶点，则原四面体可分割成四个以内切球的球心为顶点，以四面体的面为底面的三棱锥，这些三棱锥的底面积都是34a2，高都是r，所以正四面体的体积为4×13×34a2×r＝33a2r，于是33a2r＝212a3，解得r＝612a.所以内切球的体积为43π×612a3＝6216πa3.答案：6216πa3