（新高考）2020高考数学二轮复习 方法篇 技法（四）出奇制胜 巧妙构造课件

技法(四)出奇制胜·巧妙构造方法概述构造法是指根据题设条件和结论的特征、性质，运用已知数学关系式和理论，构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法．构造法应用的技巧是“定目标构造”，需从已知条件入手，紧扣要解决的问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题．解题时常构造函数、构造方程、构造平面图形等应用题型适用于各类题型，多涉及函数、方程、平面图形等知识方法一构造函数[例1](1)已知偶函数f(x)的定义域为－π2，π2，其导函数是f′(x)．当0xπ2时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx0，则关于x的不等式f(x)2fπ4·cosx的解集为()A.π4，π2B.－π2，－π4∪π4，π2C.－π4，0∪0，π4D.－π4，0∪π4，π2[解析]令F(x)＝fxcosx，则F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.当0xπ2时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx0，则F′(x)0，所以F(x)在0，π2上单调递减．因为F(－x)＝f－xcos－x＝fxcosx＝F(x)，所以F(x)为偶函数，所以F(x)在－π2，0上单调递增．当x∈－π2，π2时，cosx0，则f(x)2fπ4cosx等价于fxcosxfπ4cosπ4，即F(x)Fπ4，所以|x|π4，又x∈－π2，π2，所以－π2x－π4或π4xπ2.[答案]B(2)已知m，n∈(2，e)，且1n2－1m2lnmn，则()A．mnB．mnC．m2＋1nD．m，n的大小关系不确定[解析]由不等式可得1n2－1m2lnm－lnn，即1n2＋lnn1m2＋lnm.设f(x)＝1x2＋lnx(x∈(2，e))，则f′(x)＝－2x3＋1x＝x2－2x3.因为x∈(2，e)，所以f′(x)0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)f(m)，所以nm.[答案]A方法二构造方程[例2]已知a2－3a＝1，b2－3b＝1，且a≠b，则1a2＋1b2＝__________.[解析]由题意可知a，b是方程x2－3x－1＝0的两个实数根，由根与系数的关系可知a＋b＝3，ab＝－1，所以1a2＋1b2＝a2＋b2a2b2＝a＋b2－2aba2b2＝32－2×(－1)＝11.[答案]11方法三构造空间几何体[例3]已知三棱锥P­ABC，PA＝BC＝234，PB＝AC＝10，PC＝AB＝241，则三棱锥P­ABC的体积为________．[解析]如图所示，把三棱锥P­ABC补成一个长方体AEBG­FPDC，易知三棱锥P­ABC的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，由已知可得x2＋y2＝100，x2＋z2＝136，y2＋z2＝164，解得x＝6，y＝8，z＝10.从而V三棱锥P­ABC＝V长方体AEBG­FPDC－V三棱锥P­AEB－V三棱锥C­ABG－V三棱锥B­PDC－V三棱锥A­FPC＝V长方体AEBG­FPDC－4V三棱锥P­AEB＝6×8×10－4×13×12×10×8×6＝160.故所求三棱锥P­ABC的体积为160.[答案]160[应用体验]1．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则ff52的值是()A．0B．12C．1D．52解析：由已知得fx＋1x＋1＝fxx，故构造函数g(x)＝fxx，则g(x＋1)＝fx＋1x＋1，所以g(x＋1)＝g(x)，即g(x)是周期为1的函数．又f(x)为偶函数，所以g(x)为奇函数．故再构造一个特例函数g(x)＝sin2πx(x∈R)，所以f(x)＝xsin2πx，从而有f52＝52sin5π＝0，故ff52＝f(0)＝0，因此选A.答案：A2．已知数列{an}，an＝2an－1＋n＋1，a1＝1(n∈N*)，则an＝__________.解析：由已知可得an＋n＋3＝2[an－1＋(n－1)＋3]．设bn＝an＋n＋3，则bn＝2bn－1，所以{bn}是公比为2的等比数列，且b1＝a1＋1＋3＝5，所以bn＝5×2n－1，所以an＝5×2n－1－n－3.答案：5×2n－1－n－33．函数y＝sinxcosx－3的最大值和最小值分别为_______，_______.解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P(cosx，sinx)与定点Q(3,0)连线的斜率，为此构造一个单位圆，探究单位圆上动点P(cosx，sinx)与定点Q(3,0)连线的斜率问题．如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大、最小，设切点分别为R，M.易知kOR＝22，kOM＝－22，所以kQR＝－24，kQM＝24，所以－24≤kPQ≤24.即y＝sinxcosx－3的最大值为24，最小值为－24.答案：24－24