（新高考）2020高考数学二轮复习 方法篇 技法（三）解题常招 设参换元课件

技法(三)解题常招·设参换元方法概述在解答数学问题时，我们常把某个代数式看成一个新的未知数，或将某些变元用另一参变量的表达式来替换，以便将所求的式子变形，优化思考对象，让原来不醒目的条件，或隐含的信息显露出来，促使问题的实质明朗化，使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路．这种通过换元改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法，就是设参换元法，也就是我们常说的换元法应用题型此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、三角、解析几何中广泛应用方法一三角换元[例1]已知x，y∈R，满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为__________．[常规解法]由x2＋2xy＋4y2＝6，得2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤x2＋4y22，所以6－(x2＋4y2)≤x2＋4y22，所以x2＋4y2≥4，当且仅当x＝2y时，取等号．又因为(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，所以z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12，综上可得4≤x2＋4y2≤12.[提速解法]已知x2＋2xy＋4y2＝6，即(x＋y)2＋(3y)2＝(6)2，故设x＋y＝6cosα，3y＝6sinα，即x＝6cosα－2sinα，y＝2sinα.则z＝x2＋4y2＝6－2xy＝6－2(6cosα－2sinα)·2sinα＝8－4sin2α＋π6.所以8－4≤z≤8＋4，即z的取值范围为[4,12]．[答案][4,12]方法二整体换元[例2]已知椭圆C的方程为x24＋y2＝1，且直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．[解]圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相切，得|m|1＋k2＝1，故有m2＝1＋k2.①由x24＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－8km4k2＋12－4×4m2－44k2＋1＝164k2－m2＋14k2＋12.②将①代入②，得|x1－x2|2＝48k24k2＋12，故|x1－x2|＝43|k|4k2＋1.所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·43|k|4k2＋1＝43k2k2＋14k2＋1.故△OMN的面积S＝12|MN|×1＝23k2k2＋14k2＋1.令t＝4k2＋1(t≥1)，则k2＝t－14，代入上式，得S＝2·3×t－14t－14＋1t2＝32·t－1t＋3t2＝32·－1t2＋23t＋13＝32·－1t－132＋49，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±22时，S取得最大值，且最大值为32×49＝1.方法三两次换元[例3]已知u≥1，v≥1且(logau)2＋(logav)2＝loga(au2)＋loga(av2)(a1)，则loga(uv)的最大值和最小值分别为________，________.[解析]令x＝logau，y＝logav，则x≥0，y≥0.已知等式可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥0，y≥0)．再设t＝loga(uv)＝x＋y(x≥0，y≥0)，由图可知，当线段y＝－x＋t(x≥0，y≥0)与圆弧(x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥0，y≥0)相切时(图中CD位置)，截距t取最大值，tmax＝2＋22；当线段端点是圆弧端点时(图中AB位置)，截距t取最小值，tmin＝1＋3.因此loga(uv)的最大值是2＋22，最小值是1＋3.[答案]2＋221＋3[提醒]利用两次换元探究动点的轨迹方程，数形结合使问题变得直观．换元中应注意旧变量对新变量的限制．[应用体验]1．椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为________．解析：已知x24＋y23＝1，则F(－1,0)．设A(2cosθ，3sinθ)，B(2cosθ，－3sinθ)，则|AF|＝|BF|＝2cosθ＋12＋3sin2θ＝2＋cosθ，故△FAB的周长l＝2(2＋cosθ)＋23sinθ＝4＋4sinθ＋π6.当θ＝π3时，l取得最大值，此时△FAB的面积为S＝12(1＋2cosθ)·23sinθ＝3sinθ(1＋2cosθ)＝3.答案：32．不等式log2(2x－1)·log2(2x＋1－2)2的解集是________．解析：设log2(2x－1)＝y，则log2(2x＋1－2)＝1＋log2(2x－1)＝y＋1，故原不等式可化为y(y＋1)2，解得－2y1.所以－2log2(2x－1)1，解得log254xlog23，即x∈log254，log23.答案：log254，log233．y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值是________．解析：设sinx＋cosx＝t∈[－2，2]，则sinxcosx＝sinx＋cosx2－12＝t22－12，所以y＝t22＋t－12＝12(t＋1)2－1，当t＝2时，ymax＝12＋2.答案：12＋24．在椭圆x2＋4y2＝8中，AB是长为52的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积的取值范围．解：设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，代入椭圆方程整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4(b2－2)＝0.故x1＋x2＝－8kb4k2＋1，x1x2＝4b2－24k2＋1.由|AB|2＝(k2＋1)(x2－x1)2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16k2＋14k2＋12[2(4k2＋1)－b2]＝254，得b2＝2(4k2＋1)－254k2＋1264k2＋1，又原点O到AB的距离为|b|k2＋1.所以△AOB的面积S＝54·|b|k2＋1.记u＝4k2＋1k2＋1，则S2＝2516·b2k2＋1＝251624k2＋1k2＋1－254k2＋1264k2＋12＝－6251024u2－12825u＝4－6251024u－64252.又u＝4k2＋1k2＋1＝4－3k2＋1的范围为[1,4](u＝4为竖直弦)．故u＝6425时，S2max＝4；而u＝1时，S2min＝25751024.因此S的取值范围是510332，2.