（新高考）2020高考数学二轮复习 方法篇 技法（六）关注整体 设而不求课件

技法(六)关注整体·设而不求方法概述设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果应用题型选择题、填空题、解答题中均有应用方法一整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决．[例1]已知等比数列{an}中，Sm＝16，S2m＝64，求S3m.[解]设公比为q，由于S2m≠2Sm，故q≠1，于是a11－qm1－q＝16，①a11－q2m1－q＝64，②②÷①得1＋qm＝4，则qm＝3，所以S3m＝a11－q3m1－q＝a11－qm1－q(1＋qm＋q2m)＝16×(1＋3＋32)＝208.方法二转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，转化成几何问题求解．[例2]设a，b均为正数，且a＋b＝1，则2a＋1＋2b＋1的最大值为________．[解析]设u＝2a＋1，v＝2b＋1(u1，v1)，u＋v＝m，则u，v同时满足u＋v＝m，u2＋v2＝4，其中u＋v＝m表示直线，m为此直线在v轴上的截距．u2＋v2＝4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧，如图所示，显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大．由图易得mmax＝22，即2a＋1＋2b＋1≤22.[答案]22方法三巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果．[例3]设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点O.[证明]设A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)，则C－p2，2pt2.因为AB过焦点F，所以2pt1·2pt2＝－p2，得t1t2＝－14.又直线OC的斜率kOC＝2pt2－p2＝－4t2＝1t1，直线OA的斜率kOA＝2pt12pt21＝1t1，则kOC＝kOA.故A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.方法四适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决．[例4]已知对任何满足(x－1)2＋y2＝1的实数x，y，不等式x＋y＋k≥0恒成立，求实数k的取值范围．[解]由题意设x＝1＋cosθ，y＝sinθ，则g(θ)＝x＋y＋k＝sinθ＋cosθ＋1＋k＝2sinθ＋π4＋1＋k≥－2＋1＋k.令－2＋1＋k≥0，得k≥2－1.即实数k的取值范围是[2－1，＋∞)．方法五中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决．[例5]如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角α的余弦值．[解]过点A作AM⊥SO，垂足为M，可知∠MAO＝∠AOB＝∠OSB＝α.设MA＝x，OB＝r，SO＝h，则有13πx2h＝12×13πr2h.化简可得xr2＝12.又因为cosα＝MAOA＝OAOB，即cosα＝xOA＝OAr.所以cos2α＝xOA·OAr＝xr.于是cos4α＝12，又α为锐角，所以cosα＝2－14.方法六恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果．[例6]求cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17的值．[解]设M＝cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17，N＝sinπ17sin2π17sin3π17…sin8π17，则MN＝sinπ17cosπ17·sin2π17cos2π17·…·sin8π17·cos8π17＝128sin2π17sin4π17…sin16π17＝128sinπ17sin2π17…sin8π17＝128·N.而N≠0，故M＝128＝1256.[应用体验]1．sin10°sin30°sin50°sin70°的值为________．解析：设A＝sin10°sin30°sin50°sin70°，B＝cos10°cos30°cos50°cos70°，则AB＝116sin20°sin60°sin100°sin140°＝116cos70°cos30°cos10°cos50°＝116B，而B≠0，由此可得A＝116.答案：1162．已知椭圆x225＋y29＝1，F1，F2为焦点，点P为椭圆上一点，∠F1PF2＝π3，则S△F1PF2＝________.解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义得r1＋r2＝10.①由余弦定理得r21＋r22－2r1r2cosπ3＝64.②①2－②得，r1r2＝12，所以S△F1PF2＝12r1r2sinπ3＝33.答案：333．已知F1，F2是椭圆2x2＋y2＝4的两个焦点，点P是椭圆上在第一象限内的点，且PF1―→·PF2―→＝1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．(1)求点P的坐标；(2)求直线AB的斜率．解：(1)设P(m，n)，因为点P在椭圆上，所以2m2＋n2＝4，m0，n0.①又椭圆的标准方程为y24＋x22＝1，设F1(0，2)，F2(0，－2)，所以PF1―→·PF2―→＝(－m，2－n)·(－m，－2－n)＝1，由此可得m2＋n2＝3.②由①②解得m＝1，n＝2，即所求点P的坐标为(1，2)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B在椭圆上，所以2x21＋y21＝4,2x22＋y22＝4，两式相减得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.所以kAB＝y1－y2x1－x2＝－2·x1＋x2y1＋y2.③同理可得kAP＝y1－2x1－1＝－2·x1＋1y1＋2，④kBP＝y2－2x2－1＝－2·x2＋1y2＋2.⑤因为PA，PB倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0.⑥由④⑤左端及⑥得x1y2＋x2y1－2(x2＋x1)－(y1＋y2)＋22＝0，⑦由④⑤右端及⑥得x1y2＋x2y1＋2(x2＋x1)＋(y1＋y2)＋22＝0，⑧由⑧－⑦得22(x2＋x1)＋2(y1＋y2)＝0，即y1＋y2＝－2(x1＋x2)，⑨由③⑨得kAB＝2.