（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 三角函数与解三角形、平面向量（五）课件 理

主攻40个必考点(五)解三角形1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.结合A＋C＝120°，得30°C90°，所以12a2，从而38S△ABC32.因此△ABC面积的取值范围是38，32.2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5.3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题设得12bcsinA＝a23sinA，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.[把脉考情]考什么1.三角形中基本量的计算2.三角形中的最值、范围问题3.解三角形在平面图形中的应用考多深一般与数列解答题轮流占据第17题的位置，中等难度，分值12分考多宽与三角函数性质、三角恒等变换结合进行命题，注意函数与方程思想、数形结合思想的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养三角形中基本量的计算[典例1](2019·南阳一中检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinB(acosB＋bcosA)＝3ccosB.(1)求B；(2)若b＝23，△ABC的面积为23，求△ABC的周长．[解](1)由题意及正弦定理得sinB(sinAcosB＋sinBcosA)＝3sinCcosB，∴sinBsin(A＋B)＝sinBsinC＝3sinCcosB，∵C∈(0，π)，∴sinC0，∴sinB＝3cosB，∴tanB＝3.又∵B∈(0，π)，∴B＝π3.(2)∵S△ABC＝12acsinB＝34ac＝23，∴ac＝8.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosπ3，即12＝a2＋c2－2×8×12＝a2＋c2－8，∴a2＋c2＝20，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝36，∴a＋c＝6.又∵b＝23，∴△ABC的周长为6＋23.增分方略用正、余弦定理求解三角形基本量的方法三角形中最值、范围问题[典例2](2019·南平质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cacosB＋bcosA＝1cosC，c＝4.(1)求C；(2)当△ABC的面积取最大值时，求b的值．[解](1)由题意知，acosB＋bcosA＝2ccosC，由正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，sinC＝2sinCcosC，又sinC≠0，所以cosC＝12，故C＝π3.(2)法一：利用余弦定理由(1)知C＝π3，所以△ABC的面积S＝12absinC＝34ab，故只需求ab取最大值时b的值．由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即16＝a2＋b2－ab，结合基本不等式a2＋b2≥2ab，可得ab≤16，当且仅当a＝b＝4时取等号，所以当△ABC的面积取最大值时，b＝4.法二：利用正弦定理由(1)知C＝π3，所以A＋B＝2π3，即A＝2π3－B.因为c＝4，所以△ABC外接圆的直径2R＝csinC＝4sinπ3＝833.由正弦定理可得a＝2RsinA＝2Rsin2π3－B，b＝2RsinB.故该三角形的面积S＝12absinC＝12×2Rsin2π3－B×2RsinBsinπ3＝3R2sinBsin2π3－B＝3R2sinB32cosB＋12sinB＝3R232sinBcosB＋12sin2B＝3R2232sin2B－12cos2B＋12＝3R22sin2B－π6＋12，所以当2B－π6＝π2，即B＝π3时，面积取得最大值，此时A＝2π3－B＝π3，即△ABC是等边三角形，所以b＝a＝c＝4.[典例3](2019·池州期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2且(sinA＋sinB)(2－b)＝(sinC－sinB)c.(1)求A；(2)求△ABC的周长的取值范围．[解](1)在△ABC中，由正弦定理及已知得(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，化简得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又0Aπ，所以A＝π3.(2)在△ABC中，由正弦定理得asinπ3＝bsinB＝csinC，又a＝2，所以b＝433sinB，c＝433sinC＝433·sin2π3－B，故b＋c＝433sinB＋433sin2π3－B＝433×32sinB＋32cosB＝4sinB＋π6.因为0B2π3，故π6B＋π65π6，所以12sinB＋π6≤1，b＋c∈(2,4]．所以△ABC的周长的取值范围为(4,6]．增分方略三角形中最值、范围问题的解题思路要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[提醒](1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0Aπ，b－cab＋c，三角形中大边对大角等．以平面几何为载体的解三角形问题[典例4](2019·佛山质检)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝3π4，AB⊥AD，AB＝1.(1)若AC＝5，求△ABC的面积；(2)若∠ADC＝π6，CD＝4，求sin∠CAD.[解](1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋2BC，解得BC＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，即ACsinπ6＝4sinθ，①在△ABC中，∠BAC＝π2－θ，∠BCA＝π－3π4－π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得ACsin∠ABC＝ABsin∠BCA，即ACsin3π4＝1sinθ－π4，②①②两式相除，得sin3π4sinπ6＝4sinθ1sinθ－π4，即422sinθ－22cosθ＝2sinθ，整理得sinθ＝2cosθ.又sin2θ＋cos2θ＝1，故sinθ＝255，即sin∠CAD＝255.增分方略求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．