（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 三角函数与解三角形、平面向量（四）课件 理

主攻40个必考点(四)正弦、余弦定理的基本问题1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3解析：选A∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－4c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.2．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：选A∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝42.3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C∵S＝12absinC＝a2＋b2－c24＝2abcosC4＝12abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝π4.4．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A.31010B.1010C．－1010D．－31010解析：选C法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝12a·13a＝12acsinB，∴c＝23a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋29a2－2×a×23a×22＝59a2，∴b＝53a.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.故选C.法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝13BC＝13a，B＝π4，易知BD＝AD＝13a，DC＝23a.在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝13a2＋13a2＝23a.同理，在Rt△ACD中，AC＝13a2＋23a2＝53a.∴cosA＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.5．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.解析：∵bsinA＋acosB＝0，∴asinA＝b－cosB.由正弦定理asinA＝bsinB，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.答案：3π46．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC0，∴sinA＝12.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝82bc＝4bc0，∴cosA＝32，bc＝4cosA＝833，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×833×12＝233.答案：233[把脉考情]考什么1.正弦定理及其应用(利用正弦定理求边、角、面积问题)2.余弦定理及其应用(利用余弦定理求边、角、面积问题)3.三角形形状的判断4.三角形与不等式综合考多深正弦、余弦定理的简单应用多以选择题、填空题的形式进行考查，有较容易的，也有压轴小题，压轴小题多在第12题或第16题位置，难度较大，分值5分考多宽边角互化与三角恒等变换的综合，与函数、基本不等式结合求最值、范围问题，考查数学运算、数学建模的核心素养，注意转化与化归思想的应用正弦定理及其应用[典例1](1)(2020届高三·遵义联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2ccosA，5sinA＝1，则sinC的值为()A.12B.14C.54D.53(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝233，A＝π3，b＝1，则△ABC的面积为________．[解析](1)∵5sinA＝1，即sinA＝55，又a＝2ccosA，cosA＝a2c0，∴cosA＝255.由条件及正弦定理得sinA＝2sinCcosA，即55＝2×255sinC，∴sinC＝14.(2)由正弦定理可得asinA＝bsinB＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝233，又A＝π3，b＝1，则a＝1，B＝π3，所以△ABC是边长为1的正三角形，所以△ABC的面积为12×12×32＝34.[答案](1)B(2)34增分方略1．正弦定理的主要应用就是实现边与角之间的互化正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形ABC外接圆的半径．由正弦定理可得：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．三角形ABC中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.3．三角形面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．余弦定理及其应用[典例2](2019·潍坊二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sinC－sinBsinB＝acosBbcosA，则A＝()A.π6B.π4C.π3D.2π3[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：角化边因为2sinC－sinBsinB＝acosBbcosA，由正弦定理可得2c－bb＝acosBbcosA，即abcosB＝(2c－b)bcosA.由余弦定理可得ab·a2＋c2－b22ac＝(2c－b)·b·b2＋c2－a22bc，整理可得bc＝b2＋c2－a2.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3.故选C.法二：边化角由正弦定理及已知可得2sinC－sinBsinB＝sinAcosBsinBcosA，即2sinC－sinB＝sinAcosBcosA，即cosA(2sinC－sinB)＝sinAcosB，即2sinCcosA＝sinAcosB＋cosAsinB，即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosA＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.故选C.[答案]C增分方略(1)余弦定理及变形a2＝b2＋c2－2bccosA⇔cosA＝b2＋c2－a22bc；b2＝c2＋a2－2cacosB⇔cosB＝c2＋a2－b22ca；c2＝a2＋b2－2abcosC⇔cosC＝a2＋b2－c22ab.(2)由余弦定理可得a2＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)⇔cosA＝b2＋c2－a22bc＝b＋c2－a22bc－1.(3)由正弦定理与余弦定理可得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.三角形形状的判断[典例3](2019·太原一模)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：边化角由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2B－12sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．法二：角化边由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．[答案]C增分方略判断三角形形状的方法角化边通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断边化角通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出三角之间的关系进行判断[提醒]注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．三角形与不等式综合[典例4]在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠π2，sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则角A的取值范围为()A.0，π6B.0，π4C.π6，π4D.π6，π3[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：利用角的范围有界性在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，即2sinBcosA＝22sinAcosA，因为A≠π2，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a，所以A为锐角，又sinB＝2sinA∈(0,1]，所以sinA∈0，22，所以A∈0，π4.法二：利用基本不等式在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，即2sinBcosA＝22sinAcosA，因为A≠π2，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12b2＋c22bc≥212b2·c22bc＝22，当且仅当c＝22b时等号成立，所以A∈0，π4.[答案]B增分方略三角形与不等式相结合解题规律(1)求三角形某条边的取值范围．如：已知三角形的边a及对角A，求三角形有两解时边b的范围，根据bsinAab，解出相应的不等式即可．(2)求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围．这里要注意两个内容：(1)应用三角形内角和定理：A＋B＋C＝π；大边对大角，小边对小角；(2)已知条件中的范围限制要留意，如：已知△ABC为锐角三角形，则要求三个角均为锐角之外，还要求A＋Bπ2，解题时尽量把范围缩小到最小限度．(3)求与已知有关的参数的范围或者最值问题．要建立参数与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，参数作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数关系中的定义域)找完善，避免结果的范围过大．