（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 解析几何（二十四）课件 理

主攻40个必考点(二十四)圆锥曲线中的定值问题(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a2－b2a＝22，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x28＋y24＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入x28＋y24＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb2k2＋1，yM＝k·xM＋b＝b2k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．[把脉考情]考什么1.探求与线段长有关的定值问题2.探求与面积有关的定值问题3.探求与参数有关的定值问题考多深在解答题中考查，试题难度较大，分值12分考多宽主要通过直线与圆锥曲线位置关系相结合，考查定值的探求或证明问题，常与向量交汇命题，考查逻辑推理的核心素养与定线段有关的定值问题[典例1](2019·宜昌模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且经过点P12，354.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相切，过点F作FQ⊥l，垂足为Q，求证：|OQ|为定值(其中O为坐标原点)．[解](1)由题意设椭圆C的左焦点为F′(－1,0)，则半焦距c＝1.由椭圆定义可知，2a＝|PF|＋|PF′|＝1－122＋0－3542＋－1－122＋0－3542＝4，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3，于是椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝±2，点Q的坐标为(－2,0)或(2,0)，此时|OQ|＝2；②当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝±3，点Q的坐标为(1，－3)或(1，3)，此时|OQ|＝2；③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)．因为FQ⊥l，所以直线FQ的方程为y＝－1k(x－1)．由y＝kx＋m，x24＋y23＝1消去y，可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(8km)2－4×(3＋4k2)×(4m2－12)＝0，整理得m2＝4k2＋3.(*)由y＝kx＋m，y＝－1kx－1得Q1－kmk2＋1，k＋mk2＋1，所以|OQ|＝1－kmk2＋12＋k＋mk2＋12＝1＋k2m2＋k2＋m2k2＋12，将(*)式代入上式，得|OQ|＝4k4＋2k2＋1k2＋12＝2.综上所述，|OQ|为定值，且定值为2.增分方略探求圆锥曲线中定线段长问题的策略一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值．与几何图形的面积有关的定值问题[典例2]如图所示，设点A，B的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．[解](1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，kAP·kBP＝yx＋3·yx－3＝－23(x≠±3)，化简得，点P的轨迹方程为x23＋y22＝1(x≠±3)．(2)由题意可知，M，N是轨迹C上不同的两点，且AP∥OM，BP∥ON，则直线OM，ON的斜率必存在且不为0，kOM·kON＝kAP·kBP＝－23.①当直线MN的斜率为0时，设M(x0，y0)，N(－x0，y0)，则y20x20＝23，x203＋y202＝1，得|x0|＝62，|y0|＝1，所以S△MON＝12|y0||2x0|＝62.②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x＝my＋t，代入x23＋y22＝1，得(3＋2m2)y2＋4mty＋2t2－6＝0，(*)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－4mt3＋2m2，y1y2＝2t2－63＋2m2.又kOM·kON＝y1y2x1x2＝y1y2m2y1y2＋mty1＋y2＋t2＝2t2－63t2－6m2，所以2t2－63t2－6m2＝－23，即2t2＝2m2＋3，满足Δ0.又S△MON＝12|t||y1－y2|＝|t|－24t2＋48m2＋7223＋2m2，所以S△MON＝26t24t2＝62.综上，△MON的面积为定值，且定值为62.增分方略探求圆锥曲线中几何图形面积定值问题的策略一般用直接求解法，即先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．与参数有关的定值问题[典例3](2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，求证：1λ＋1μ为定值．[解](1)因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由y2＝4x，y＝kx＋1，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×10，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1(x－1)．令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2＋1x2－1＋2.由QM→＝λQO→，QN→＝μQO→，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN＝x1－1k－1x1＋x2－1k－1x2＝1k－1·2x1x2－x1＋x2x1x2＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2＝2.所以1λ＋1μ为定值．增分方略定值问题常见的2种求法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)引进变量法：其解题流程为