（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 解析几何（二十六）课件 理

主攻40个必考点(二十六)圆锥曲线中的范围问题1．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②x2a2＋y2b2＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．2．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．解：设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t＝4时，E的方程为x24＋y23＝1，A(－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0.解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t3，k0，A(－t，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1得(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2，得x1＝t3－tk23＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t1＋k23＋tk2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，故同理可得|AN|＝6kt1＋k23k2＋t.由2|AM|＝|AN|，得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝32时上式不成立，因此t＝3k2k－1k3－2.t3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝k－2k2＋1k3－20，即k－2k3－20.因此得k－20，k3－20或k－20，k3－20，解得32k2.故k的取值范围是(32，2)．3．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝kx－1，x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3.所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，点A到直线m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．[把脉考情]考什么1.求直线斜率的取值范围2.求动态变化中有关几何图形面积的范围3.求有关参数值的范围考多深在解答题中考查，试题难度较大，分值12分考多宽通过直线与圆锥曲线的位置关系交汇考查，探求斜率、方程中字母参数及图形面积的范围，常与向量、函数、不等式相结合与斜率有关的范围问题[典例1](2019·岳阳模拟)已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于223，P是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9PF1→·PF2→＝1.(1)求椭圆E的方程；(2)作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．[解](1)结合题意，设椭圆E的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，半焦距为c.因为椭圆E的离心率等于223，所以c＝223a，b2＝a2－c2＝a29.由以线段PF1为直径的圆经过F2，得PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝b2a.因为9PF1→·PF2→＝1，所以9|PF2→|2＝9b4a2＝1.由b2＝a29，9b4a2＝1，解得a2＝9，b2＝1，所以椭圆E的方程为y29＋x2＝1.(2)因为直线x＝－12与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－12相交，所以直线l不可能与x轴垂直．设直线l的方程为y＝kx＋m，由y＝kx＋m，9x2＋y2＝9，得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0.Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)0，即m2－k2－90，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2kmk2＋9.因为线段MN被直线2x＋1＝0平分，所以2×x1＋x22＋1＝0，即－2kmk2＋9＋1＝0.由m2－k2－90，－2kmk2＋9＋1＝0，得k2＋92k2－(k2＋9)0，因为k2＋90，所以k2＋94k2－10，即k23，解得k3或k－3.所以直线l的倾斜角的取值范围为π3，π2∪π2，2π3.增分方略判别式法求范围问题的思路建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式Δ的关系建立目标不等式．与面积有关的范围问题[典例2](2019·安徽五校二检)已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p0)在第一象限分别交于D，C两点．(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求S1S2的取值范围．[解](1)由题意知Ap2，0，则Bp2＋a，0，Dp2，p，则Cp2＋a，p2＋2pa，又a＝p，所以kCD＝3p－p3p2－p2＝3－1.(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)．由y＝kx＋b，y2＝2px消去x，得ky2－2py＋2pb＝0，所以Δ＝4p2－8pkb0，得kbp2.y1＋y2＝2pk，y1y2＝2pbk，由y1＋y2＝2pk0，y1y2＝2pbk0，可知k0，b0.因为|CD|＝1＋k2|x1－x2|＝a1＋k2，点O到直线CD的距离d＝|b|1＋k2，所以S1＝12·a1＋k2·|b|1＋k2＝12ab.又S2＝12(y1＋y2)·|x1－x2|＝12·2pk·a＝apk，所以S1S2＝kb2p.因为0kbp2，所以0S1S214.故S1S2的取值范围为0，14.增分方略本例利用条件建立S1S2的关系式后，充分利用Δ确立的范围，根据不等式性质确定S1S2的取值范围．与线段长有关的范围问题[典例3](2019·乌鲁木齐联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2，且过点1，22.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足OA→＋OB→＝tOP→，其中t∈263，2，求|AB|的取值范围．[解](1)依题意得a2＝b2＋1，1a2＋12b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．由y＝kx－2，x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k2)0，解得k212.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－4k1＋2k2.由OA→＋OB→＝tOP→，得P8k2t1＋2k2，－4kt1＋2k2，代入椭圆C的方程得t2＝16k21＋2k2.由263t2得14k212，∴|AB|＝1＋k2·22·1－2k21＋2k2＝221＋2k22＋11＋2k2－1.令u＝11＋2k2，则u∈12，23，∴|AB|＝22u2＋u－1∈0，253.∴|AB|的取值范围为0，253.增分方略本例首先应建立目标函数，即用函数关系表示|AB|，再利用t∈263，2求范围．