（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 解析几何（二十八）课件 理

主攻40个必考点(二十八)圆锥曲线中的存在性问题1．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，故直线ON的方程为y＝ptx，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．2．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点m3，m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝x1＋x22＝－kbk2＋9，yM＝kxM＋b＝9bk2＋9.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－9k，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点m3，m，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－9kx.设点P的横坐标为xP.由y＝－9kx，9x2＋y2＝m2得x2P＝k2m29k2＋81，即xP＝±km3k2＋9.将点m3，m的坐标代入直线l的方程得b＝m3－k3，因此xM＝kk－3m3k2＋9.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是±km3k2＋9＝2×kk－3m3k2＋9，解得k1＝4－7，k2＝4＋7.因为ki0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线l的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形．[把脉考情]考什么1.探索是否存在常数的问题2.探索是否存在点或直线的问题3.探索是否存在最值或定值的问题考多深在解答题中考查，难度较大，分值12分考多宽存在性问题多与探索定点、定值、定直线、存在常数等交汇考查，考查推理能力探索是否存在常数的问题[典例1](2018·湖南师大附中月考)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F与椭圆Γ：x22＋y2＝1的一个焦点重合，点M(x0,2)在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1)求抛物线C的方程以及|MF|的值．(2)记抛物线C的准线与x轴交于点H，试问是否存在常数λ∈R，使得AF→＝λFB→且|HA|2＋|HB|2＝854都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)依题意，在椭圆Γ：x22＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，即F(1,0)，p2＝1，则2p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝4x.将M(x0,2)代入y2＝4x，解得x0＝1，故|MF|＝1＋p2＝2.(2)设l：x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝4x，x＝ty＋1消去x，得y2－4ty－4＝0.∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，①且x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1.又AF→＝λFB→，则(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，即y1＝－λy2，代入①得1－λy2＝4t，－λy22＝－4，消去y2得4t2＝λ＋1λ－2.又H(－1,0)，则|HA|2＋|HB|2＝(x1＋1)2＋y21＋(x2＋1)2＋y22＝x21＋x22＋2(x1＋x2)＋2＋y21＋y22＝(ty1＋1)2＋(ty2＋1)2＋2(ty1＋ty2＋2)＋2＋y21＋y22＝(t2＋1)(y21＋y22)＋4t(y1＋y2)＋8＝(t2＋1)(16t2＋8)＋4t·4t＋8＝16t4＋40t2＋16.由16t4＋40t2＋16＝854，解得t2＝18或t2＝－218(舍去)，故λ＝2或12.增分方略解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．探索是否存在点或直线的问题[典例2]已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝2与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线l的斜率为－1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l对称，若存在，求出|MN|的值，若不存在，说明理由．[解](1)设Q(x0,2)，代入y2＝2px，得x0＝2p，所以|PQ|＝2p，|QF|＝p2＋2p，所以p2＋2p＝2×2p，解得p＝2或p＝－2(舍去)，所以C的方程为y2＝4x.(2)由已知得，直线l的方程为x＋y－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则kMN＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2，∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴4y1＋y2＝1.①∵MN的中点T的坐标为y21＋y228，y1＋y22，中点T在直线l上，∴y1＋y22＝－y21＋y228＋1.②联立①②可知此方程组无解，∴C上不存在M，N，使得M，N关于直线l对称．增分方略探索是否存在直线时要注意判断直线的斜率是否存在．探索是否存在点时要注意利用特殊情况先判断再证明或直接判断．探索是否存在最值或定值的问题[典例3](2019·绵阳南山中学二诊)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为22，且经过点(－2，1)．过点D(0，－2)且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于P点，点A关于x轴的对称点C，直线BC交x轴于点Q.(1)求k的取值范围．(2)试问：|OP|·|OQ|是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．[解](1)由已知得2c＝22，所以c＝2.又因为c2＝a2－b2，所以a2－b2＝2.①又因为椭圆过点(－2，1)，所以2a2＋1b2＝1.②联立①②解得a＝2，b＝2，所以椭圆方程为x24＋y22＝1.设直线l的方程为y＝kx－2，联立x24＋y22＝1，y＝kx－2消去y得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0.由Δ＝64k2－16(1＋2k2)0，得k212，所以k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，由(1)知x1＋x2＝8k1＋2k2，x1x2＝41＋2k2.在y＝kx－2中，令y＝0得xP＝2k，即P2k，0.直线BC的方程为y＝y2＋y1x2－x1(x－x1)－y1，令y＝0得xQ＝x2y1＋x1y2y2＋y1.将y1＝kx1－2，y2＝kx2－2代入上式，得xQ＝x2y1＋x1y2y2＋y1＝2kx1x2－2x1＋x2kx1＋x2－4＝2k·41＋2k2－16k1＋2k2k·8k1＋2k2－4＝2k，所以|OP|·|OQ|＝|xP|·|xQ|＝2k·|2k|＝4，为定值．增分方略解决探索性问题的注意事项解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．