（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 函数与导数（三十三）课件 理

主攻40个必考点(三十三)利用导数研究函数的单调性1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13解析：选C法一：取a＝－1，则f(x)＝x－13sin2x－sinx，f′(x)＝1－23cos2x－cosx，但f′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A、B、D.故选C.法二：函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，则g(t)＝－43t2＋at＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以g1＝－43＋a＋53≥0，g－1＝－43－a＋53≥0，解得－13≤a≤13.故选C.2．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．解：(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3.若a0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)0；当x∈0，a3时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，0)，a3，＋∞单调递增，在0，a3单调递减．若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a0，则当x∈－∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)0，当x∈a3，0时，f′(x)0，所以f(x)在－∞，a3，(0，＋∞)单调递增，在a3，0单调递减．(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，a3单调递减，在a3，1单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为fa3＝－a327＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.于是m＝－a327＋2，M＝4－a，0a2，2，2≤a≤3.所以M－m＝2－a＋a327，0a2，a327，2≤a3.当0a2时，可知y＝2－a＋a327单调递减，所以M－m的取值范围是827，2.当2≤a3时，y＝a327单调递增，所以M－m的取值范围是827，1.综上，M－m的取值范围是827，2.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＜0时，证明f(x)≤－34a－2.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈0，－12a时，f′(x)＞0；当x∈－12a，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－12a处取得最大值，最大值为f－12a＝ln－12a－1－14a.所以f(x)≤－34a－2等价于ln－12a－1－14a≤－34a－2，即ln－12a＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝1x－1.当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x＞0时，g(x)≤0.从而当a＜0时，ln－12a＋12a＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.[把脉考情]考什么1.函数单调性的判断2.已知单调性求参数范围、图象的识别或比较大小考多深选择、填空、解答题均有涉及，难度中等偏上，若出现在压轴小题上难度较大，分值7分左右考多宽多与函数性质交汇考查函数单调性的判断、比较大小、求参数范围，考查数学运算、逻辑推理的核心素养，注意分类讨论思想的应用利用导数判断函数单调性[典例1]设函数f(x)＝lnx－(a＋1)x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有最大值且最大值大于3a－1时，求a的取值范围．[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－(a＋1)＝1－a＋1xx.①当a＋1≤0，即a≤－1时，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a＋10，即a－1时，令f′(x)＝0，得x＝1a＋1，当0x1a＋1时，f′(x)0，函数f(x)在0，1a＋1上单调递增；当x1a＋1时，f′(x)0，函数f(x)在1a＋1，＋∞上单调递减．综上所述，当a≤－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a－1时，函数f(x)在0，1a＋1上单调递增，在1a＋1，＋∞上单调递减．(2)由(1)得，若f(x)有最大值，则a－1，且f(x)max＝f1a＋1＝ln1a＋1－1.∵函数f(x)的最大值大于3a－1，∴ln1a＋1－13a－1，即ln(a＋1)＋3a0(a－1)．令g(a)＝ln(a＋1)＋3a(a－1)，∵g(0)＝0且g(a)在(－1，＋∞)上单调递增，∴－1a0.故a的取值范围为(－1,0)．增分方略求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[提醒]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．已知函数单调性求参数范围[典例2](1)(2019·宝鸡质检)已知函数f(x)＝x2＋4x＋alnx，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．(－∞，－16)C．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)(2)(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．[解析](1)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋4＋ax＝2x2＋4x＋ax，f(x)在(1,2)上是单调函数，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(1,2)上恒成立，即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥－(2x2＋4x)或a≤－(2x2＋4x)在(1,2)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋4x)，x∈(1,2)，则－16g(x)－6，∴a≥－6或a≤－16，故选C.(2)由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－x－1x－3x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，∴1∈(t，t＋1)或3∈(t，t＋1)⇔t1，t＋11或t3，t＋13⇔0t1或2t3.[答案](1)C(2)(0,1)∪(2,3)增分方略由函数的单调性求参数的取值范围的4种方法(1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．(4)若已知f(x)在区间D上不单调，则f(x)在D上有极值点，且极值点不是D的端点．构造函数解决单调性与不等式的综合问题[典例3](2019·梧州一模)设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)x2，则不等式(x＋2019)2f(x＋2019)－4f(－2)0的解集为()A．(－2019，－2017)B．(－2019，－2018)C．(－2021，－2019)D．(－2020，－2019)[解析]由2f(x)＋xf′(x)x2，x0，得2xf(x)＋x2f′(x)x3，即[x2f(x)]′x30.令F(x)＝x2f(x)，则当x0时，得F′(x)0，即F(x)在(－∞，0)上是减函数，∵F(x＋2019)＝(x＋2019)2f(x＋2019)，F(－2)＝4f(－2)，∴不等式等价于F(x＋2019)－F(－2)0.∵F(x)在(－∞，0)上是减函数，∴由F(x＋2019)F(－2)，得x＋2019－2，即x－2021.又x＋20190，解得x－2019，∴－2021x－2019.[答案]C增分方略构造函数解决导数问题的常用模型(1)条件：f′(x)a(a≠0)；构造函数：h(x)＝f(x)－ax.(2)条件：f′(x)±g′(x)0；构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)．(3)条件：f′(x)＋f(x)0；构造函数：h(x)＝exf(x)．(4)条件：f′(x)－f(x)0；构造函数：h(x)＝fxex.(5)条件：xf′(x)＋f(x)0；构造函数：h(x)＝xf(x)．(6)条件：xf′(x)－f(x)0；构造函数：h(x)＝fxx.