（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻36个必考点 选考系列 （三十五）坐标系与参数方程（选修4

主攻36个必考点(三十五)坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.2．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.3．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．则C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.4．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点需满足21＋k21，解得k－1或k1，即α∈π2，3π4或α∈π4，π2.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4.[把脉考情]考什么1.极坐标方程及其应用2.参数方程及其应用3.极坐标方程和参数方程的综合问题考多深在解答题中考查，难度中等偏低，分值10分考多宽多与圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系交汇考查，还需结合三角函数的最值、点到直线的距离公式、三角形面积公式、轨迹方程的求解等，考查数形结合、转化化归的思想极坐标方程的应用[典例1](2019·安徽示范高中高三测试)在直角坐标系xOy中，已知直线l1：x＝0和圆C：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设直线l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．[解](1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l1的极坐标方程为ρcosθ＝0，即θ＝π2(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0.(2)设Aπ2，ρ1，Bπ4，ρ2，将θ＝π2代入(1)中圆C的极坐标方程，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋2.将θ＝π4代入(1)中圆C的极坐标方程，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋2.故△OAB的面积为12×(1＋2)2×sinπ4＝1＋324.增分方略极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．参数方程的应用[典例2](2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝3＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，直线l与曲线C：x＝1cosθ，y＝tanθ(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝π3，求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．[解](1)由曲线C：x＝1cosθ，y＝tanθ(θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.当α＝π3时，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，可得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝t1＋t22＝3，故线段AB的中点的直角坐标为92，332.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6tcosα＋8＝0，则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝8cos2α－sin2α＝81＋tan2α1－tan2α，由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝403.增分方略1．直线的参数方程的应用直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义．2．结论要记根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l＝|t1－t2|；(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.极坐标方程和参数方程的综合问题[典例3](2019·安庆二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同．已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，过点P(－1,23)的直线l：x＝－1－12t，y＝23＋32t(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．[解](1)把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)得y2＝2ax(a＞0)．由x＝－1－12t，y＝23＋32t(t为参数)，消去t得3x＋y－3＝0.所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a＞0)和3x＋y－3＝0.(2)将x＝－1－12t，y＝23＋32t(t为参数)代入y2＝2ax(a＞0)，整理得3t2＋(24＋4a)t＋48＋8a＝0.由题意知Δ＞0.设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝－24＋4a3，t1t2＝48＋8a3.不妨设|PM|＝|t1|，则|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|.因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.即24＋4a29＝1024＋4a3，解得a＝32.增分方略解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．