（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻36个必考点 数列（九）课件 文

主攻36个必考点(九)数列求和1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.解析：∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，∴Sn＝a11－qn1－q＝－1×1－2n1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.答案：－632．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则k＝1n1Sk＝________.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有a1＋2d＝3，4a1＋6d＝10，解得a1＝1，d＝1，所以Sn＝nn＋12，1Sn＝2nn＋1＝21n－1n＋1，因此k＝1n1Sk＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝2nn＋1.答案：2nn＋13．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝1－2n1－2＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.4．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．解：(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝nn－9d2.由a10知d0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．5．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列an2n＋1的前n项和．解：(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)记an2n＋1的前n项和为Sn，由(1)知an2n＋1＝22n＋12n－1＝12n－1－12n＋1，则Sn＝11－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝2n2n＋1.[把脉考情]考什么1.公式法求和；2.分组求和3.裂项相消求和；4.错位相减求和考多深考查较稳定，在解答题中考查，属于中等难度．在选择题、填空题中考查，难度中等，分值约10分考多宽数列求和常与函数特性及不等式交汇命题，考查函数与方程思想，涉及数学运算、逻辑推理的核心素养分组法求和[典例1](2019·焦作一模)已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)设{an}的公差为d，因为a2＝3，{an}前4项的和为16，所以a1＋d＝3，4a1＋4×32d＝16，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.设{bn－an}的公比为q，则b4－a4＝(b1－a1)q3，因为b1＝4，b4＝88，所以q3＝b4－a4b1－a1＝88－74－1＝27，解得q＝3，所以bn－an＝(4－1)×3n－1＝3n.(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，所以Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝31－3n1－3＋n1＋2n－12＝32(3n－1)＋n2＝3n＋12＋n2－32.增分方略利用分组法求和的3个关键点会“列方程”即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量会“用公式”会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式会“分组求和”观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列.裂项相消法求和[典例2](2019·辽宁沈阳三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2＋Sn对一切正整数n恒成立．(1)求当a1为何值时，数列{an}是等比数列，并求出它的通项公式；(2)在(1)的条件下，若数列{bn}满足bn＝anan＋1＋1an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)因为an＋1＝2＋Sn，①所以当n≥2时，an＝2＋Sn－1，②①－②得an＋1＝2an(n≥2)，因为当数列{an}是等比数列时，还应有a2＝2a1，且a2＝2＋S1＝2＋a1，所以a1＝2，所以当a1＝2时，数列{an}是等比数列，此时数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)因为bn＝2n2n＋12n＋1＋1＝12n＋1－12n＋1＋1，所以Tn＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n＋1－12n＋1＋1＝13－12n＋1＋1＝2n＋1－232n＋1＋1.增分方略1．裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[提醒]利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2．常见数列的裂项方法数列(n为正整数)裂项方法1nn＋k(k为非零常数)1nn＋k＝1k1n－1n＋k14n2－114n2－1＝1212n－1－12n＋11n＋n＋11n＋n＋1＝n＋1－n错位相减法求和[典例3]已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.[解](1)因为Sn＝3n2＋8n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2＋8n－[3(n－1)2＋8(n－1)]＝6n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝11也适合an＝6n＋5.所以an＝6n＋5，n∈N*.于是，bn＋1＋bn＝an＝6n＋5.因为{bn}是等差数列，所以可设bn＝kn＋t(k，t均为常数)，则有k(n＋1)＋t＋kn＋t＝6n＋5，即2kn＋k＋2t＝6n＋5对任意的n∈N*恒成立，所以2k＝6，k＋2t＝5，解得k＝3，t＝1，故bn＝3n＋1.(2)因为an＝6n＋5，bn＝3n＋1，所以cn＝an＋1n＋1bn＋2n＝6n＋6n＋13n＋3n＝2n×(6n＋6)．于是，Tn＝12×2＋18×22＋24×23＋…＋2n×(6n＋6)，①所以2Tn＝12×22＋18×23＋24×24＋…＋2n×6n＋2n＋1×(6n＋6)，②①－②，得－Tn＝24＋6(22＋23＋…＋2n)－2n＋1×(6n＋6)＝24＋6×22－2n×21－2－2n＋1×(6n＋6)＝－2n＋1×6n，故Tn＝2n＋1×6n＝2n＋2×3n.增分方略用错位相减法求和的步骤和关键(1)掌握解题“3步骤”(2)注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．(3)谨防解题“2失误”①两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．②对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和．并项求和法求和[典例4](2019·衡水中学一模)已知在数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn.[解](1)因为anan＋1＝2n，所以当n≥2时，an－1an＝2n－1，所以an＋1an－1＝2.所以数列{an}的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列．又a1＝1，a2＝2a1＝2，所以当n为奇数时，an＝1×2n－12＝2n－12；当n为偶数时，an＝2×2n2－1＝2n2，综上，数列{an}的通项公式an＝2n－12，n为奇数，2n2，n为偶数.(2)因为a1＝1，anan＋1＝2n，bn＝log2an，所以bn＋bn＋1＝n，b1＝0.当n为奇数时，Sn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝0＋2＋4＋…＋(n－1)＝n2－14；当n为偶数时，Sn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－1＋bn)＝1＋3＋…＋(n－1)＝n24.综上，数列{bn}的前n项和Sn＝n2－14，n为奇数，n24，n为偶数.增分方略破解对数函数与数列相交汇求前n项和的关键(1)活用定义，如本例(1)，会利用等比数列的定义求出数列的通项公式，由于数列的奇数项、偶数项分别成等比数列，所以需分类讨论，求出的数列的通项公式需分段表示；(2)对项数分类讨论，如本例(2)，并会利用并项求和法求出数列的前n项和．