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小题考法课(二)古典概型与几何概型一、高考真题集中研究——明规律1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过该项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.答案：B2．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12解析：法一：设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.法二：两位男同学与两位女同学随机排成一列，因为男同学人数与女同学人数相等，所以两女同学相邻与不相邻的排法种数相同，所以两女同学相邻与不相邻的概率均为12.答案：D3．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3解析：设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为310＝0.3.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝12S圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P＝π24＝π8.答案：B5．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25解析：记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝1025＝25.答案：D6．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56解析：从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，故选C.答案：C7．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝115.答案：C8．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310解析：如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.答案：B[怎么考]考点单一：主要针对古典概型和几何概型的概率计算．形式灵活：几何概型经常采用灵活的背景材料．解题有根：古典概型解题的关键是事件的个数，几何概型解题的关键是长度、面积的计算．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)古典概型[大稳定——常规角度考“四基”]1．2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19解析：记地理、化学、生物分别为D，H，S，则小明与小芳的选课方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9种，小明与小芳选课方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3种情况，所以他们选课相同的概率为39＝13，故选B.答案：B2．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是()A.23B.12C.14D.16解析：从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的有3种，所以所选颜色中含有白色的概率为12，故选B.答案：B3．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则其中恰有一男一女抽到同一道题目的概率为()A.13B.23C.12D.34解析：记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.答案：C[解题方略]利用古典概型求事件概率的关键点及注意点关键点(1)正确列举出所有基本事件，求出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数(2)会运用古典概型的概率计算公式P(A)＝求事件A发生的概率注意点(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率[小创新——变换角度考“迁移”]1．[借助数学文化考查]齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为()A.49B.59C.23D.79解析：将齐王的上等、中等、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等马分别记为b1，b2，b3，则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛，其对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6种，所以齐王的马获胜的概率P＝69＝23，故选C.答案：C2．[古典概型与函数交汇]已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是()A.310B.35C.25D.15解析：函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－20，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是2×25×2＝25.故选C.答案：C3．[古典概型与集合交汇]已知集合A＝{x|x2＋2x－30}，B＝{x|(x＋2)(x－3)0}，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“a－b∈(A∪B)”的概率为()A.56B.18C.12D.34解析：由已知得A＝{x|－3x1}，B＝{x|－2x3}，因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈(A∪B)”，则事件E包含9个基本事件，故事件E发生的概率P(E)＝912＝34.答案：D考点(二)互斥事件与对立事件的概率1．[对立事件的概率]某教师让学生从3.1415926的小数点之后的七个数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取两个数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A.2831B.1921C.2231D.1721解析：从1,4,1,5,9,2,6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14,11,15,19,12,16,41,45,49,42,46,59,52,56,92,96,26,51,91,21,61,54,94,24,64,95,25,65,29,69,62，共31种，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种，故所得到的数字大于3.14的概率P＝1－331＝2831.答案：A2．[互斥事件的概率]从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是()A．0.8B．0.6C．0.4D．0.2解析：设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M为“所选3人中女生人数为1”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M，N是互斥事件．4名男生分别记为1,2,3,4；2名女生分别记为a，b.从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3,4}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{1，a，b}，{2,3,4}，{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{2，a，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，{3，a，b}，{4，a，b}．答案：A事件M所含的基本事件分别为{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，共12个，所以P(M)＝1220＝35；事件N所含的基本事件分别为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，共4个，所以P(N)＝420＝15；所以事件Q的概率为P(Q)＝P(M)＋P(N)＝35＋15＝0.8，故选A.[解题方略]互斥事件、对立事件概率的求法(1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两方法：直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事