（新高考）2020版高考数学二轮复习 重点保分专题二 小题考法课（一）课件 文

重点保分专题二导数把握考情诊断学情考查内容导数的几何意义和运算，利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题，利用导数研究不等式恒成立问题、不等式证明、函数的零点个数等综合问题存在问题(1)研究函数的导数时忽略定义域(2)含参数问题不讨论或讨论不彻底(3)恒成立和存在性问题中求最大或最小值混淆(4)不等式证明不能转化为函数最值(5)函数零点问题不借助数形结合进行直观性解题考查题型以选择题、填空题形式考查，难度中等偏上，以解答题考查时，难度较大，以压轴题出现(1)借助导数几何意义，考查数学运算的核心素养把握考情诊断学情考查素养(2)借助导数研究函数的单调性和最值，考查逻辑推理和数学运算的核心素养(3)通过导数研究恒成立问题、不等式证明、函数的零点个数等综合问题，考查逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养解决方法(1)注意“在点”的切线与“过点”的切线的区别(2)研究问题定义域优先(3)对参数的讨论是从正负、大小等多角度讨论(4)a≤f(x)恒成立是指a≤f(x)min；存在x使得a≤f(x)，是指a≤f(x)max小题考法课(一)导数的运算与几何意义一、高考真题集中研究——明规律1．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.答案：C2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.答案：D3．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：∵y′＝aex＋lnx＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y′＝2x－1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝05．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：2x－y＝06．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：1[怎么考]考点单一：主要针对曲线的切线方程考查．形式灵活：有时求切线或切点，有时由切线求参数值．解题有根：解决这类题的关键是在切点处的导数值，即斜率．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)导数的几何意义[大稳定——常规角度考“四基”]1．[已知切点求切线方程]已知函数f(x)＝lnx＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为()A．x－y－3＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋3＝0D．x＋y＋2＝0解析：因为f(1)＝ln1＋2－4＝－2，所以切点为(1，－2)．因为f′(x)＝1x＋4x－4，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.所以切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.答案：A2．[由切线方程求切点坐标]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3)D．(1，－3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)和(－1,3)．答案：C3．[求参数值]已知曲线y＝1x＋lnxa在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．解析：因为y＝f(x)＝1x＋lnxa，所以f′(x)＝－1x2＋1ax，所以曲线y＝1x＋lnxa在x＝1处的切线l的斜率k＝f′(1)＝－1＋1a.直线2x＋3y＝0的斜率k′＝－23.因为切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以－1＋1a×－23＝－1，得a＝25.答案：25[解题方略]1．与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.2．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒]注意曲线上点的横坐标的取值范围．[小创新——变换角度考“迁移”]1．[与数列交汇]已知函数f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x＋3y－1＝0垂直，记数列1fn的前n项和为Sn，则S2020的值为()A.20202019B.20192020C.20182019D.20202021解析：由题意知f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝2－a＝3⇒a＝－1，故f(x)＝x2＋x.则1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，S2020＝1－12＋12－13＋…[phone]＝1－12021＝20202021.答案：D2．[与圆交汇]曲线f(x)＝－x3＋3x2在点(1，f(1))处的切线截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长为()A．4B．22C．2D.2解析：因为f′(x)＝－3x2＋6x，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，又f(1)＝2，故切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.因为圆心C(0，－1)到直线3x－y－1＝0的距离d＝0，所以直线3x－y－1＝0截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长就是该圆的直径，故为4.答案：A3．[与三角函数交汇]已知函数f(x)＝12x－14sinx－34cosx的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tanx0＝________.解析：∵f(x)＝12x－14sinx－34cosx，∴f′(x)＝12－14cosx＋34sinx＝12＋12sinx－π6.∵函数f(x)的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，∴12＋12sinx0－π6＝1，∴x0－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，∴x0＝2π3＋2kπ，k∈Z，∴tanx0＝tan2π3＋2kπ＝－3.答案：－3考点(二)与导数有关的函数图象问题[典例](1)设函数y＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分大致图象为()(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象如图所示，则f′0f′1＝________.[解析](1)令f(x)＝xsinx＋cosx，因为f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，所以k＝g(t)＝f′(t)＝tcost.因为g(－t)＝－tcos(－t)＝－tcost＝－g(t)，所以函数g(t)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A、C；又当t∈0，π2时，g(t)0，排除D.(2)由函数的图象可知，x＝2为函数的极大值点，x＝－1为函数的极小值点，即2，－1是f′(x)＝0的两个根．由f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，得2＋(－1)＝－2b3a＝1，－1×2＝c3a＝－2，即c＝－6a,2b＝－3a，故f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3ax2－3ax－6a＝3a(x－2)(x＋1)，则f′0f′1＝3a×－2×13a×1－2×1＋1＝－6－6＝1.[答案](1)B(2)1[解题方略]破解此类题的技巧：一是会用导数的几何意义，求出曲线在指定点处的切线的斜率；二是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除错误的选项；三是取自变量的部分取值范围，判断函数值的符号，即可排除错误的选项，从而得出正确的选项．[集训冲关]1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()解析：∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴函数y＝f(x)图象的切线斜率越来越大．A中函数图象的切线斜率越来越大，满足条件；B中函数图象的切线斜率越来越小，不满足条件；C中函数图象的切线斜率是常数，不满足条件；D中函数图象的切线斜率先越来越大，然后越来越小，不满足条件．故选A.答案：A2．设函数y＝f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()解析：由题意得，当x0时，函数y＝f(x)单调递增，故f′(x)0，排除A、C；当x0时，函数y＝f(x)先单调递增，然后单调递减，再单调递增，故导函数的符号先为正然后为负再为正，排除B，选D.答案：D