（新高考）2020版高考数学二轮复习 题型篇 第一讲 选修4-4 坐标系与参数方程课件 文

第一讲选修4－4坐标系与参数方程考点(一)极坐标方程及其应用[典例](2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.[解题方略]1．求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．2．求解与极坐标有关的应用问题的基本方法(1)直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．(2)间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[集训冲关]1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.考点(二)参数方程及其应用[典例]已知直线l的参数方程为x＝t，y＝mt(t为参数)，圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)．(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于2，求实数m的取值范围；(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．[解](1)由直线l的参数方程为x＝t，y＝mt(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝mx，由圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，得圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1.则圆心(0,1)到直线l的距离d＝1m2＋1，故相交弦长为21－1m2＋1，所以21－1m2＋1≥2，解得m≤－1或m≥1.所以实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)设P(cosα，1＋sinα)，Q(x，y)，则x＝12(cosα＋2)，y＝12(1＋sinα)，消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y－122＝14.[解题方略]1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t·1t＝1；②t＋1t2－t－1t2＝4；③2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.2．与参数方程有关问题的求解方法(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，|t|等于直线上的点P到点P0(x0，y0)的距离．若直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2)．(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．[集训冲关]1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解：(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.2．已知直线l：x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标缩短到原来的32倍，得到曲线C2，设P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．解：(1)直线l的普通方程为y＝3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，由y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得l与C1的交点坐标分别为(1,0)，12，－32，故|AB|＝1－122＋0＋322＝1.(2)由题意得，曲线C2的参数方程为x＝12cosθ，y＝32sinθ(θ为参数)，则点P的坐标是12cosθ，32sinθ，所以点P到直线l的距离d＝32cosθ－32sinθ－32＝64sinθ－π4＋2，故当sinθ－π4＝－1时，d取得最小值，最小值为23－64.考点(三)极坐标方程与参数方程的综合问题[典例](2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．则C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[集训冲关]1．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋22t，y＝22t(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2＝6ρ(cosθ＋sinθ)－14.(1)写出圆C的直角坐标方程；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，求|AB|.解：(1)由ρ2＝6ρ(cosθ＋sinθ)－14，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝6x＋6y－14，即(x－3)2＋(y－3)2＝4.(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22t－12＋22t－32＝4，即t2－42t＋6＝0，设两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，从而t1＋t2＝42，t1t2＝6，所以|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝22.2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosφ，y＝－2＋2sinφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＋π3＝－1，M为曲线C1上的动点．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求点M到曲线C2的距离d的最小值及此时点M的坐标．解：(1)由题意知，曲线C1：x＝2＋2cosφ，y＝－2＋2sinφ，化为普通方程，得(x－2)2＋(y＋2)2＝4.曲线C2：ρcosθ＋π3＝－1，展开，化简得ρcosθ－3ρsinθ＝－2，所以曲线C2的直角坐标方程为x－3y＋2＝0.(2)设M(2＋2cosφ，－2＋2sinφ)，则点M到曲线C2的距离d＝|2＋2cosφ－3－2＋2sinφ＋2|2＝4cosφ＋π3＋4＋232＝2cosφ＋π3＋2＋3，所以当cosφ＋π3＝－1，即φ＝2π3时，d取得最小值，dmin＝3，此时M(1，－2＋3)．