（新高考）2020版高考数学二轮复习 第三部分 讲重点 解答题专练 第7讲 选修4-4 坐标系与参数

第三部分讲重点•解答题专练第7讲选修4－4坐标系与参数方程■真题调研——————————————【例1】[2019·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.【例2】[2019·全国卷Ⅱ]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.【例3】[2019·全国卷Ⅲ]如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.【例4】[2019·江苏卷]在极坐标系中，已知两点A3，π4，B2，π2，直线l的方程为ρsinθ＋π4＝3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．解：(1)设极点为O.在△OAB中，A3，π4，B2，π2，由余弦定理，得AB＝32＋22－2×3×2×cosπ2－π4＝5.(2)因为直线l的方程为ρsinθ＋π4＝3，则直线l过点32，π2，倾斜角为3π4.又B2，π2，所以点B到直线l的距离为(32－2)×sin3π4－π2＝2.■模拟演练——————————————1．[2019·南昌二模]已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝12t，y＝32t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0，点P的极坐标是2153，2π3.(1)求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．解：(1)由x＝12t，y＝32t，消去t，得y＝3x，则ρsinθ＝3ρcosθ，所以θ＝π3，所以直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)．点P2153，2π3到直线l的距离为d＝2153×sin2π3－π3＝2153×32＝5.(2)由ρ2－2ρcosθ－2＝0，θ＝π3，得ρ2－ρ－2＝0，设M，N两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝1，ρ1ρ2＝－2，所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝3，所以△PMN的面积S△PMN＝12|MN|×d＝12×3×5＝352.2．[2019·广州综合测试二]在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝42，求直线l的倾斜角．解：(1)解法一：因为直线l的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(t为参数)，所以当α＝π2时，直线l的普通方程为x＝2.当α≠π2时，直线l的普通方程为y－3＝tanα(x－2)．将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入ρ2＝2ρcosθ＋8，得x2＋y2＝2x＋8.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.解法二：直线l的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(t为参数)，则有xsinα＝2sinα＋tsinαcosα，ycosα＝3cosα＋tsinαcosα，所以直线l的普通方程为xsinα－ycosα－(2sinα－3cosα)＝0.将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入ρ2＝2ρcosθ＋8，得x2＋y2＝2x＋8.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.(2)解法一：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理，得t2＋(23sinα＋2cosα)t－5＝0.因为Δ＝(23sinα＋2cosα)2＋200，所以可设该方程的两个根分别为t1，t2，则t1＋t2＝－(23sinα＋2cosα)，t1t2＝－5.所以|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝[－23sinα＋2cosα]2＋20＝42，整理得(3sinα＋cosα)2＝3，故2sinα＋π6＝±3.因为0≤απ，所以π6≤α＋π67π6，所以α＋π6＝π3或α＋π6＝2π3，解得α＝π6或α＝π2.所以直线l的倾斜角为π6或π2.解法二：由(1)得曲线C是以C(1,0)为圆心，3为半径的圆．直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|＝42，故圆心C(1,0)到直线l的距离d＝32－4222＝1.①当α＝π2时，直线l的普通方程为x＝2，符合题意．②当α∈0，π2∪π2，π时，直线l的普通方程为xtanα－y＋3－2tanα＝0，所以d＝|tanα－0＋3－2tanα|1＋tan2α＝1，整理得|3－tanα|＝1＋tan2α，解得α＝π6.综上所述，直线l的倾斜角为π6或π2.3．[2019·太原一模]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝tcosα，y＝1＋tsinα，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)若曲线C1的参数方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；(2)已知点A(0,1)，若曲线C1的参数方程中的参数是t，0απ，且C1与C2相交于P，Q两个不同的点，求1|AP|＋1|AQ|的最大值．解：(1)∵ρ＝2cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，∵α是曲线C1：x＝tcosα，y＝1＋tsinα的参数，∴曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2，∵曲线C1与曲线C2有且只有一个公共点，∴|t|＝2－1或|t|＝2＋1，∴曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝(2－1)2或x2＋(y－1)2＝(2＋1)2.(2)∵t是曲线C1：x＝tcosα，y＝1＋tsinα的参数，∴曲线C1是过点A(0,1)的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，将x＝tcosα，y＝1＋tsinα代入(x－1)2＋y2＝1，得t2＋2(sinα－cosα)t＋1＝0，∴t1＋t2＝－22sinα－π4，t1·t2＝1，∴1|AP|＋1|AQ|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1＋t2|＝22|sinα－π4≤22，当α＝3π4时，Δ＝4(sinα－cosα)2－4＝40，∴1|AP|＋1|AQ|的最大值为22.4．[2019·福建质检]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1＋35t，y＝1＋45t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ，点P的极坐标为2，π4.(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.解：(1)由ρ2＝21＋sin2θ得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，①将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为x22＋y2＝1.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为2，π4，所以x＝ρcosθ＝2cosπ4＝1，y＝ρsinθ＝2sinπ4＝1.所以点P的直角坐标为(1,1)．(2)解法一：将x＝1＋35t，y＝1＋45t代入x22＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0.Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－11041.依题意，点M对应的参数为t1＋t22，所以|PM|＝|t1＋t22＝5541.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.由x＝1＋35t，y＝1＋45t消去t，得y＝43x－13.将y＝43x－13代入x22＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝28800，所以x1＋x2＝1641，x1x2＝－1641.所以x0＝841，y0＝43x0－13＝43×841－13＝－341，即M841，－341.所以|PM|＝841－12＋－341－12＝－33412＋－44412＝5541.