（新高考）2020版高考数学二轮复习 第三部分 讲重点 解答题专练 第1讲 解三角形课件 理

第三部分讲重点•解答题专练第1讲解三角形把握审题中的“三性”做到解题过程中的“三思”1.目的性：明确解题的终极目标和每一个步骤的分项目标．2.准确性：注意概念把握的准确性和运算过程的准确性．3.隐含性：注意题设条件的隐含性．审题不怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的保证．1.思路：由于解答题具有知识容量大，解题方法多的特点，因此，审题时应考虑应用多种解题思路．2.思想：高考解答题的设置往往着重考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的合理运用．3.思辨：即在求解解答题时，注意对思路和运算方法的选择和解题后的反思.■真题调研——————————————【例1】[2019·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.【例2】[2019·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，故12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.【例3】[2019·北京卷]在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×－12.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×－12，解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－12得sinB＝32.由正弦定理得sinC＝cbsinB＝5314.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cosC＝1－sin2C＝1114.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝437.【例4】[2019·江苏卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝2，cosB＝23，求c的值；(2)若sinAa＝cosB2b，求sinB＋π2的值．解：(1)因为a＝3c，b＝2，cosB＝23，由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，得23＝3c2＋c2－222×3c×c，即c2＝13.所以c＝33.(2)因为sinAa＝cosB2b，由正弦定理asinA＝bsinB，得cosB2b＝sinBb，所以cosB＝2sinB.从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝45.因为sinB0，所以cosB＝2sinB0，从而cosB＝255.因此sinB＋π2＝cosB＝255.■模拟演练——————————————1．[2019·长沙、南昌联考]如图，在平面四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAD为钝角，∠BCD＝120°，BC＝CD＝2，AB∶AD＝2∶1.(1)求△ABD的外接圆半径；(2)求△ABC的面积．解：(1)∵BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理，得BD＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝22＋22－2×2×2cos120°＝23.在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，∴sin∠ADB＝ABAD·sin∠ABD＝22，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝105°.又sin105°＝sin75°＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋24，∴△ABD的外接圆直径2R＝BDsin∠BAD＝236＋24＝62－26，∴△ABD的外接圆半径R＝32－6.(2)在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，∴AB＝BDsin∠ADBsin∠BAD＝23×226＋24＝6－23.又∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴△ABC的面积S＝12AB·BCsin∠ABC＝12×(6－23)×2×32＝3(3－1)．2．[2019·武汉2月调研]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝3，sin2C＋sinA＝0.(1)求c；(2)求△ABC的面积．解：(1)由sin2C＋sinA＝0知，2sinC·cosC＋sinA＝0，∴2c·a2＋b2－c22ab＋a＝0，∴c(a2＋b2－c2)＋a2·b＝0，而a＝2，b＝3，∴c(4＋9－c2)＋12＝0，即c3－13c－12＝0，∴(c＋1)(c＋3)(c－4)＝0，而c0，∴c＝4.(2)在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝a2＋c2－b22ac＝4＋16－92×2×4＝1116，∴sinB＝1－cos2B＝1－11162＝31516，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×2×4×31516＝3154.3．[2019·南昌一模]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0ωπ2，|φ|π2)的部分图象如图所示，A(0，3)，C(2,0)，并且AB∥x轴．(1)求ω和φ的值；(2)求cos∠ACB的值．解：(1)由已知得f(0)＝2sinφ＝3，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sinωx＋π3.因为f(2)＝0，即2sin2ω＋π3＝0，所以2ω＋π3＝kπ，k∈Z，解得ω＝k2π－π6，k∈Z，而0＜ω＜π2，所以ω＝π3.(2)由(1)知，f(x)＝2sinπ3x＋π3，令f(x)＝3，得π3x＋π3＝2kπ＋π3或π3x＋π3＝2kπ＋2π3，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，由题图可知，B(1，3)，所以CA→＝(－2，3)，CB→＝(－1，3)，所以|CA→|＝7，|CB→|＝2，所以cos∠ACB＝CA→·CB→|CA→||CB→|＝527＝5714.4．[2019·广州综合测试一]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB＝(3a－b)cosC.(1)求sinC的值；(2)若c＝26，b－a＝2，求△ABC的面积．解：(1)解法一：因为ccosB＝(3a－b)cosC，所以由正弦定理得sinCcosB＝(3sinA－sinB)cosC，即sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosC，所以sin(B＋C)＝3sinAcosC，由于A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，则sinA＝3sinAcosC.因为0Aπ，所以sinA≠0，cosC＝13.因为0Cπ，所以sinC＝1－cos2C＝223.解法二：因为ccosB＝(3a－b)cosC，所以由余弦定理得c×a2＋c2－b22ac＝(3a－b)×a2＋b2－c22ab，化简得a2＋b2－c2＝23ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝23ab2ab＝13.因为0Cπ，所以sinC＝1－cos2C＝223.(2)解法一：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，又c＝26，cosC＝13，得a2＋b2－23ab＝24，即(a－b)2＋43ab＝24.因为b－a＝2，所以ab＝15.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×15×223＝52.解法二：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，又c＝26，cosC＝13，得a2＋b2－23ab＝24.又b－a＝2，所以a＝3，b＝5.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×15×223＝52.