（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第14讲 基本不等式及其应用

第14讲基本不等式及其应用、简单的线性规划问题课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．一些常用的基本公式(1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab或ab≤a2＋b22(当且仅当a＝b时取“＝”)．(2)若a＞0，b＞0，则a＋b2≥ab或a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．(3)若a＞0，b＞0，则ab≤a＋b22(当且仅当a＝b时取“＝”)．(4)若x＞0，则x＋1x≥2；若x＜0，则x＋1x≤－2(当且仅当x＝－1时取“＝”)；若x≠0，则x＋1x≥2，即x＋1x≥2或x＋1x≤－2(当且仅当x＝1x时取“＝”)．(5)若ab＞0，则ab＋ba≥2；若ab≠0，则ab＋ba≥2，即ab＋ba≥2或ab＋ba≤－2(当且仅当a＝b时取“＝”)．(6)若a，b∈R，则a＋b22≤a2＋b22(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．已知定值求最值的常考形式及方法规律(1)已知x0，y0，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2p.(2)已知x0，y0，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值14s2.(3)已知a，b，x，y0，若ax＋by＝1，则有1x＋1y＝(ax＋by)1x＋1y＝a＋b＋byx＋axy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2.3．掌握求解线性规划问题的三个步骤(1)作图，在平面直角坐标系中，画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)．(2)平移，平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最值的点．具体做法是：把z＝ax＋by(b≠0)变形为y＝－abx＋zb，所以求z的最值可看成是求直线y＝－abx＋zb在y轴上的截距zb的最值，将直线y＝－abx＋zb平移，在可行域中观察使zb取得最值的点．(3)求值，求出使z取得最值的点的坐标(解方程组)及z的最值．[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是________．解析：作出满足约束条件所示的可行域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点A时，－z最小，即z最大．由x＋y－3＝0，2x＋3y－6＝0，解得x＝3，y＝0，即点A的坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.答案：92．(2019·北京高考改编)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为________．解析：由|x|≤1－y，且y≥－1，得x－y＋1≥0，x＋y－1≤0，y≥－1.作出可行域如图中阴影部分所示．设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.作直线l0：y＝－3x，并进行平移．显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.答案：53．(2019·浙江高考改编)设a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的________条件．(选填“充要，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要”之一)解析：∵a0，b0，若a＋b≤4，∴2ab≤a＋b≤4.∴ab≤4，此时充分性成立．当a0，b0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝54，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a0，b0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·天津高考)设x0，y0，x＋2y＝5，则x＋12y＋1xy的最小值为________．解析：∵x0，y0，∴xy0.∵x＋2y＝5，∴x＋12y＋1xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋6xy＝2xy＋6xy≥212＝43，当且仅当2xy＝6xy时取等号．∴x＋12y＋1xy的最小值为43.答案：43课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一简单的线性规划问题[例1](1)(2019·南通模拟)已知变量x，y满足约束条件x＋y－1≤0，3x－y＋1≥0，x－y－1≤0，则z＝2x＋y的最大值为________．(2)已知x，y满足x≥2，x＋y≤4，2x－y－m≤0.若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．(3)已知实数x，y满足x－2y＋4≥0，2x＋y－2≥0，3x－y－3≤0，则x2＋y2的取值范围是________．[解析](1)作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(0,1)，(1,0)，(－1，－2)，验证知当直线z＝2x＋y过点A(1,0)时，z＝2x＋y取得最大值，最大值为2.(2)画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由3x＋y＝10，x＋y＝4，解得x＝3，y＝1，所以2×3－1－m＝0，m＝5.由图知，平移l经过B点时，z最小，所以当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.(3)画出可行域如图所示，其中A(2,3)，x2＋y2的几何意义是可行域内的动点P(x，y)与原点(0,0)之间的距离的平方，由图可看出原点(0,0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝25⇒d2＝45最近，图中A点距离原点最远，其中OA＝13，即(x2＋y2)min＝45，(x2＋y2)max＝13，所以x2＋y2的范围是45，13.[答案](1)2(2)5(3)45，13[解题方略]1．简单线性规划问题的解题策略在给定约束条件的情况下，求线性目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路步骤为：①根据约束条件作出可行域；②平移法寻找最优解；③将取得最优解时的点的坐标确定，并求出此时的最优解．考法二利用基本不等式求最值[例2](1)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为________．(2)(2019·启东中学期末)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．(3)(2019·盐城调研)若x＞0，y＞0，且x＋1x＋y＋4y≤9，则1x＋4y的最大值为________．(4)已知ab＝14，a，b∈(0,1)，则11－a＋21－b的最小值为________．[解析](1)由已知得1a＋2b＝b＋2aab＝ab，且a0，b0，∴abab＝b＋2a≥22ab，∴ab≥22，当且仅当b＝2a时取等号，故ab的最小值为22.(2)因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且3a＋4b0，ab0，即a0，b0，所以4a＋3b＝1(a0，b0)，a＋b＝(a＋b)·4a＋3b＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab时取等号．(3)令x＋y＝n，1x＋4y＝m，∴m·n＝(x＋y)1x＋4y＝5＋yx＋4xy≥9.∴m·n≥9，m＋n≤9⇒9≥m＋n≥m＋9m.∴m2－9m＋9≤0，解得9－352≤m≤9＋352.∴1x＋4y的最大值为9＋352.(4)由题意得b＝14a，所以014a1，即a∈14，1，得11－a＋21－b＝11－a＋8a4a－1＝11－a＋24a－1＋2.4(1－a)＋(4a－1)＝3，记S＝11－a＋24a－1，则S＝44－4a＋24a－1＝13[(4－4a)＋(4a－1)]·44－4a＋24a－1＝2＋234－4a4a－1＋24a－14－4a≥2＋423，当且仅当4－4a4a－1＝24a－14－4a时等号成立，所以所求最小值为4＋423.[答案](1)22(2)7＋43(3)9＋352(4)4＋423[解题方略]利用基本不等式求最值的策略(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)常值代换：条件等式下求代数式的最值问题，妙用常值代换，如2a＋b＝1(a0，b0)，求1a＋2b的最值，可以把1a＋2b写成1a＋2b(2a＋b)展开使用一次基本不等式．考法三多元最值问题[例3](1)(2019·南京、盐城一模)若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．(2)(2019·苏北三市期末)已知x0，y0，z0，且x＋3y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为________．[解析](1)由abc＝a＋2b＋c，得c＝a＋2bab－1＝a＋2ba＋2b－1＝1＋1a＋2b－1，由ab＝a＋2b，得1b＋2a＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)1b＋2a＝4＋ab＋4ba≥4＋2ab·4ba＝4＋4＝8，故c≤87，即c的最大值为87.(2)由x3＋1＋1≥3x(当且仅当x＝1时取等号)，y2＋274≥33y当且仅当y＝332时取等号，得x3＋y2＋3z＋2＋274≥3(x＋3y＋z)＝18，x3＋y2＋3z≥374当且仅当x＝1，y＝332，z＝12取等号.[答案](1)87(2)374[解题方略]多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．[集训过关]1．设不等式组x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，3x－y－5≤0表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线y＝kx经过点A(2,1)时，k取得最小值12，当直线y＝kx经过点C(1,2)时，k取得最大值2，可得实数k的取值范围为12，2.答案：12，22．(2019·宿迁中学检测)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1a＋1b，则1a＋2b的最小值为________．解析：由a＞0，b＞0，a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，得ab＝1，则1a＋2b≥21a·2b＝22.当且仅当1a＝2b，即a＝22，b＝2时等号成立．答案：223．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________．解析：xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤14－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，2x＋1y－2z＝－1y2＋2y＝－1y－12＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：14．已知正数x，y满足3x＋y＋1x＋2y＝132，则x－1y的最小值为________．解析：x－1y＝x－1y＋132－132＝x－1y＋3x＋y＋1x＋2y－132＝4x＋1x＋y＋1y－132≥24x·1x＋2y·1y－132＝－12，当且仅当x＝12，y＝1时取等号．答案：－125．(2019·启东中学模拟)当0＜m＜12时，若1m＋21－2m≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为________．解析：因为0＜m＜12，所以12×2m×(1－2m)≤12×2m＋1－2m22＝18，当且仅当2m＝1－2m，即m＝14时取等号，所以1m＋21－2m＝1m1－2m≥8，又1m＋21－2m≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4]．答案：[－2,4]二、大题考法——求“稳”求“范”考法基本不等式的实际应用[典例](2019·南京学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加