（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何 第10讲 圆锥曲线中定点、定值问题课件

第10讲圆锥曲线中定点、定值问题题型一求定点[例1](2019·海安中学期末)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2PN→＝3MN→，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)，∵2PN→＝3MN→，∴2(x0－x，－y)＝3(0，－y0)，即x0＝x，y0＝23y，又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4，将x0＝x，y0＝23y代入得x24＋y23＝1，即轨迹E的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：由(1)可知D(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋m，x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)0，即3＋4k2－m20，∴x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4m2－33＋4k2.∵|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|，∴DA→⊥DB→，即DA→·DB→＝0，即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，∴4m2－123＋4k2＋2×－8mk3＋4k2＋4＋3m2－12k23＋4k2＝0，∴7m2－16mk＋4k2＝0，解得m1＝2k，m2＝27k，且均满足3＋4k2－m20，当m1＝2k时，l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，直线恒过点(－2,0)，与已知矛盾；当m2＝27k时，l的方程为y＝kx＋27k＝kx＋27，直线恒过点－27，0.∴直线l过定点，定点坐标为－27，0.[解题方略]1．定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2．直线过定点问题的解题模型[针对训练]已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a＞1)的离心率为63.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点M(1,0)且与椭圆C相交于A，B两点．过点A作直线x＝3的垂线，垂足为D.证明：直线BD过x轴上的定点．解：(1)由题意可得b＝1，ca＝63，a2＝b2＋c2.解得b＝1，a＝3.所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)直线BD恒过x轴上的定点N(2,0)．证明如下：①当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，不妨设A1，63，B1，－63，D3，63.此时，直线BD的方程为：y＝63(x－2)，所以直线BD过点(2,0)．②当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(3，y1)．由y＝kx－1，x2＋3y2＝3得(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2－3＝0.所以x1＋x2＝6k23k2＋1，x1x2＝3k2－33k2＋1.直线BD：y－y1＝y2－y1x2－3(x－3)，令y＝0，得x－3＝－y1x2－3y2－y1，所以x＝3y2－3y1－y1x2＋3y1y2－y2＝3y2－y1x2y2－y1＝4x2－3－x1x2x2－x1＝4x2－12k23k2＋1x2－x1.由于x1＝6k23k2＋1－x2，所以x＝4x2－12k23k2＋12x2－6k23k2＋1＝2.故直线BD过点(2,0)．综上所述，直线BD恒过x轴上的定点(2,0)．题型二求定值[例2]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点，且△F1PF2面积的最大值为43.(1)求C的方程；(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．[解](1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c，因为S△F1PF2＝12F1F2·|y0|≤12·2c·b＝bc，所以bc＝43.又e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，所以a＝4，b＝23，c＝2，所以C的方程为x216＋y212＝1.(2)证明：由(1)可知A(－4,0)，B(4,0)，F1(－2,0)．由题可知，x0≠2，且x0≠±4.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的方程为y＝k1(x＋4)，令x＝2得y＝6k1，故M(2,6k1)．直线PB的方程为y＝k2(x－4)，令x＝2得y＝－2k2，故N(2，－2k2)．记以MN为直径的圆为圆D，则D(2,3k1－k2)．如图，过点F1作圆D的一条切线，切点为T，连结F1D，DT，则F1T2＝F1D2－DT2，所以F1T2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2，又k1＝y0x0＋4，k2＝y0x0－4，所以k1·k2＝y0x0＋4·y0x0－4＝y20x20－16，由x2016＋y2012＝1，得y20＝－34(x20－16)，所以k1·k2＝－34，则F1T2＝16－12k1k2＝16－12×－34＝25，所以F1T＝5.故切线长为定值5.[解题方略]1．定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．2．定值问题的求法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)引进变量法：其解题流程为[针对训练](2019·南师大附中模拟)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，圆O：x2＋y2＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为22.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断PM·PN是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：(1)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为22，知b＝c，a＝2b，则椭圆C的方程为x22b2＋y2b2＝1.易求得A(2，0)，则点(2，2)在椭圆上，所以22b2＋2b2＝1，解得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程为x26＋y23＝1.(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝2，由(1)知，M(2，2)，N(2，－2)，OM→＝(2，2)，ON→＝(2，－2)，OM→·ON→＝0，∴OM⊥ON.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|m|k2＋1＝2，即m2＝2(k2＋1)．联立y＝kx＋m，x26＋y23＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，则Δ0，x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－62k2＋1，∵OM→＝(x1，y1)，ON→＝(x2，y2)，∴OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·2m2－62k2＋1＋km·－4km2k2＋1＋m2＝1＋k22m2－6－4k2m2＋m22k2＋12k2＋1＝3m2－6k2－62k2＋1＝32k2＋2－6k2－62k2＋1＝0，∴OM⊥ON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OM⊥ON，在Rt△OMN中，由△OMP∽△NOP，可得OP2＝PM·PN＝2为定值．