（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何 第9讲 圆锥曲线的基本量计算课件

第9讲圆锥曲线的基本量计算课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．2．在椭圆中解焦点三角形一般利用椭圆的定义和余弦定理，常用到结论有：(其中，θ＝∠F1PF2)(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosθ.(3)当P为短轴端点时，θ最大．(4)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sinθ＝sinθ1＋cosθ·b2＝b2tanθ2＝c·|y0|.当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(6)椭圆的离心率e＝sin∠F1PF2sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P.3．双曲线焦点三角形的结论P(x0，y0)为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．(1)面积公式：S＝c|y0|＝12r1r2sinθ＝b2tanθ2(其中PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ)．(2)焦半径：若P在右支上，PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若P在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－ex0＋a.4．抛物线y2＝2px(p0)焦点弦AB的结论(1)xA·xB＝p24；(2)yA·yB＝－p2；(3)AB＝xA＋xB＋p.[经典考题再回首]1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1(b0)，解得b＝2，即双曲线方程为x2－y22＝1，其渐近线方程为y＝±2x.答案：y＝±2x2．(2019·浙江高考改编)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是________．解析：不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝2.答案：23．(2019·全国卷Ⅰ改编)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为________．解析：由题意可得－ba＝tan130°，所以e＝1＋b2a2＝1＋tan2130°＝1＋sin2130°cos2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.答案：1cos50°4．(2019·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为______________．解析：由题意设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，解得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.答案：x23＋y22＝1课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一圆锥曲线的方程[例1](1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为________．(2)若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．[解析](1)易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得ba＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x24－y216＝1.(2)设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由已知得b＝3c，a－c＝3，又a2＝b2＋c2，∴a＝23，b＝3，c＝3.∴椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.[答案](1)x24－y216＝1(2)x212＋y29＝1或x29＋y212＝1[解题方略]求解圆锥曲线标准方程的思路定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程计算即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0)考法二离心率的计算[例2](1)(2019·通州联考)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且在第二象限与C的交点为P，O为坐标原点，若OP＝OF，则双曲线C的离心率为________．(2)(2019·启东质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为________．[解析](1)由题意知，双曲线的左焦点为F(－c,0)，则由直线4x－3y＋20＝0过左焦点得c＝5.由点P在直线4x－3y＋20＝0上，且在第二象限，设点P的坐标为m，4m＋203(m0)．由OP＝OF＝5得m2＋4m＋2032＝25，整理得5m2＋32m＋35＝0，解得m＝－5(不符合题意，舍去)或m＝－75，所以点P的坐标为－75，245.由点P在双曲线上，且b2＝25－a2，得a4－50a2＋49＝0，解得a2＝49(舍去)或a2＝1，所以a＝1，离心率e＝ca＝5.(2)不妨设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又PF1＝F1F2＝2c，∴PF2＝22c，∴PF1＋PF2＝2c＋22c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝2－1.[答案](1)5(2)2－1[解题方略]求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．考法三焦点三角形[例3](1)设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则PF2PF1＝________.(2)(2019·海门模拟)已知F1，F2为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为________．[解析](1)如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，PF2＝b2a＝53，PF1＝2a－PF2＝133，所以PF2PF1＝513.(2)因为点A在椭圆上，所以AF1＋AF2＝2a，对其平方，得AF21＋AF22＋2AF1·AF2＝4a2，又AF1⊥AF2，所以AF21＋AF22＝4c2，则2AF1·AF2＝4a2－4c2＝4b2，即AF1·AF2＝2b2，所以S△AF1F2＝12AF1·AF2＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以OA＝12F1F2＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A32c，12c，则S△AF1F2＝12F1F2·12c＝12c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆C的方程为x26＋y22＝1.[答案](1)513(2)x26＋y22＝1[解题方略](1)椭圆(双曲线)上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆(双曲线)的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF1＋PF2＝2a(|PF1－PF2|＝2a)，得到a、c的关系．(2)对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔PF1±PF22＝2a24c2＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cosθS△PF1F2＝12PF1·PF2sinθ[集训过关]1．一个焦点为(26，0)且与双曲线y24－x29＝1有相同渐近线的双曲线方程是________．解析：设所求双曲线方程为y24－x29＝t(t≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为x218－y28＝1.答案：x218－y28＝12．(2019·启东联考)已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线x2m＋y22＝1的离心率是________．解析：因为m是3与12的等比中项，所以m2＝3×12＝36，解得m＝±6.若m＝－6，则曲线的方程为y22－x26＝1，该曲线是双曲线，其离心率e＝2＋62＝2；若m＝6，则曲线的方程为x26＋y22＝1，该曲线是椭圆，其离心率e＝6－26＝63.综上，所求离心率是2或63.答案：2或633．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，所以圆心C(0,3)，半径r＝2.因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b×0±a×3|b2＋a22，即3a2c，即e＝ca32，又e1，故双曲线离心率的取值范围是1，32.答案：1，324．设F1，F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为________．解析：如图，由题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，－b)，因为MF2⊥F1F2，可设M(c，yM)．因为F1与M关于直线AB：xa－yb＝1对称，所以kF1M＝yM2c＝－ab，即yM＝－2acb，且F1M的中点0，yM2在直线AB上，即yM2＝－b，－2acb＝－2b，ac＝b2＝a2－c2，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1＋52(负值舍去)．答案：5－12二、大题考法——求“稳”求“范”考法一直线与圆锥曲线的方程[例1]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．[解](1)由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1,2＝2k2±21＋k21＋2k2，C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且AB＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2x2－x12＝221＋k21＋2k2.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC的方程为