（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 理科附加题 第6讲 选做题考前保分集训课件

第6讲选做题考前保分集训选修4－2/矩阵与变换考法一常见平面变换1．已知变换T把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T对应的矩阵M.解：设M＝abcd，由题意得，abcd35－40＝2－1－12，∴3a－4b＝2，5a＝－1，3c－4d＝－1，5c＝2，解得a＝－15，b＝－1320，c＝25，d＝1120，即M＝－15－1320251120.2．已知切变变换T1对应的矩阵1011，伸压变换T2对应的矩阵是2001，若曲线C1：y＝4x2－x先经过变换T1，再经过变换T2后所得曲线C2，求曲线C2的方程．解：记变换T1、T2对应的矩阵A＝1011，B＝2001，因为BA＝20011011＝2011，设曲线C1上任意一点P(x，y)，依次在变换作用下得到曲线C2上点Q(x′，y′)，则x′y′＝2011xy＝2xx＋y，即x′＝2x，y′＝x＋y，所以x＝12x′，y＝y′－12x′，因为点P在曲线C1上，所以y＝4x2－x，所以y′－12x′＝4·12x′2－12x′，即y′＝x′2，所以曲线C2的方程为y＝x2.3．设矩阵M＝a00b(其中a0，b0)，若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a＋b的值．解：设曲线C：x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1，y1)，则a00bxy＝x1y1，即ax＝x1，by＝y1.又点P1(x1，y1)在曲线C′：x24＋y2＝1上，所以x214＋y21＝1，则ax24＋(by)2＝1为曲线C的方程．又曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1，因为a0，b0，所以a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.[临门一脚]1．把点A(x，y)绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是cosα－sinαsinαcosα，这个矩阵不能遗忘．2．求点被矩阵变换后的点的坐标或求曲线被矩阵变换后的曲线所用方法是求轨迹中的相关点法．3．求直线在矩阵作用下所得直线方程，可以取两个特殊点求解比较简便．考法二矩阵的复合、矩阵的乘法及逆矩阵1．已知a，b是实数，如果矩阵A＝3ab－2所对应的变换T把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a，b的值；(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.解：(1)由题意，得3ab－223＝34，即6＋3a＝3，2b－6＝4.解得a＝－1，b＝5.(2)由(1)，得A＝3－15－2.由矩阵的逆矩阵公式得B＝－2－11－1－5－13－1＝2－15－3.所以B2＝2－15－32－15－3＝－11－54.2．设二阶矩阵A，B满足A－1＝1234，(BA)－1＝1001，求B－1.解：设B－1＝abcd，因为(BA)－1＝A－1B－1，所以1001＝1234abcd，即a＋2c＝1，b＋2d＝0，3a＋4c＝0，3b＋4d＝1，解得a＝－2，b＝1，c＝32，d＝－12，所以B－1＝－2132－12.[临门一脚]1．矩阵abcd的行列式abcd＝ad－bc，如果ad－bc≠0，则矩阵abcd存在逆矩阵．2．矩阵abcd的逆矩阵为dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.3．逆矩阵求解可以用定义法求解也可以用公式求解，用公式求解时要写出原始公式．4．若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1，乘法顺序不能颠倒．考法三特征值和特征向量1．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值．解：(1)设M＝abcd，由题意，M11＝a＋bc＋d＝811，M－12＝－a＋2b－c＋2d＝－24，∴a＋b＝8，c＋d＝8，－a＋2b＝－2，－c＋2d＝4，解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，即M＝6244.(2)令特征多项式f(λ)＝λ－6－2－4λ－4＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0，解得λ1＝8，λ2＝2.矩阵M的另一个特征值为2.2．已知矩阵M＝ab24，若矩阵M的属于特征值6的一个特征向量为α1＝11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝3－2.(1)求矩阵M；(2)曲线C1在矩阵M对应的变换作用下得到的另一个曲线C2：x29－y28＝1，求曲线C1的方程．解：(1)因为矩阵M的属于特征值6的一个特征向量为α1＝11，所以ab2411＝611，即a＋b＝6，①因为矩阵M的属于特征值1的一个特征向量α2＝3－2，所以ab243－2＝3－2，即3a－2b＝3，②由①②解得a＝b＝3，所以M＝3324.(2)设曲线C1上的点为(x，y)，经过变换之后对应的曲线C2上的点为(x′，y′)，所以3324xy＝x′y′，所以x′＝3x＋3y，y′＝2x＋4y，因为点(x′，y′)在曲线C2：x29－y28＝1上，所以3x＋3y29－2x＋4y28＝1，即x22－y2＝1，所以曲线C1的方程为x22－y2＝1.3．已知矩阵M＝a1b2的属于特征值4的一个特征向量是e＝12，求M21－1.解：由题意知a1b212＝4×12，故a＋2＝4，b＋4＝8，解得a＝2，b＝4，所以M2＝21422142＝84168，所以M21－1＝841681－1＝48.[临门一脚]1．A＝abcd是一个二阶矩阵，则f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．2．矩阵M＝abcd的特征值λ满足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，属于λ的特征向量α＝xy满足Mxy＝λxy.3．特征值和特征向量，可以用定义求解也可以用公式求解．4．Mnβ的计算流程要熟悉，这也是求特征值和特征向量的应用．选修4－4/坐标系与参数方程考法一曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ＝2sinθ，过极点O的直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝3，求直线l的极坐标方程．解：设直线l的方程为θ＝θ0(ρ∈R)，A(0,0)，B(ρ1，θ0)．则AB＝|ρ1－0|＝|2sinθ0|.又AB＝3，故sinθ0＝±32.解得θ0＝π3＋kπ或θ0＝－π3＋kπ，k∈Z.所以直线l的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R)．2．求以C(4,0)为圆心，半径为4的圆的极坐标方程．解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连结OP，PA，在Rt△OPA中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AOP＝θ，∴|OA|·cosθ＝ρ，即8cosθ＝ρ，即ρ＝8cosθ就是圆C的极坐标方程．[临门一脚]1．在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O，连结OM，构造出含有OM的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．2．求圆的极坐标方程要注意作出图形，充分利用三角函数和解三角形的知识，探究极径和极角的关系，几种特殊圆的极坐标方程需要记忆清楚．3．解极坐标方程时如果求出ρ＝0，需要进行检验，防止漏解．考法二方程互化1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4，由ρ2－22ρcosθ－π4＝2，得ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)＝2，x2＋y2－2(x＋y)＝2，故圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)联立方程x2＋y2－4＝0，x2＋y2－2x－2y－2＝0，两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y－1＝0，该直线的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0.2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝acosθ，y＝sinθ(θ是参数，a＞1)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcosθ＝1，若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝1，求a的值．解：直线l的直角坐标方程为x＝1，曲线C的普通方程为x2a2＋y2＝1，联立直线l与曲线C的方程解得，y＝±1－1a2＝±a2－1a，所以A1，a2－1a，B1，－a2－1a，所以AB＝2a2－1a，因为AB＝1，所以2a2－1a＝1，因为a＞1，所以解得a＝233.[临门一脚]1．极坐标与直角坐标互化的基本公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，也经常需要用到ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．2．通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致，否则将导致两种方程所对应的曲线不一致．考法三位置关系及参数方程应用1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1＋2t，y＝－2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝－1＋cosα，y＝－2＋sinα(α为参数)，已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．解：由x＝1＋2t，y＝－2t消去参数t，得x＋y－1＝0，即l的普通方程为x＋y－1＝0.因为C的参数方程为x＝－1＋cosα，y＝－2＋sinα(α为参数)，所以可设M坐标为(－1＋cosα，－2＋sinα)．则点M到直线l：x＋y－1＝0的距离d＝|－1＋cosα－2＋sinα－1|2＝|4－sinα＋cosα|2＝4－2sinα＋π42，所以dmax＝22＋1，此时sin