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第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件⇒充分必要充分必要⇒/思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件．(2)若p⇒q，但q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p⇒/q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．充分必要充要互为充要思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[基础自测]1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．()[答案](1)√(2)√(3)×2．“x2”是“x2－3x＋20”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋20得x2或x1，故选A.]3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x0，y0，q：xy0；(3)p：ab，q：a＋cb＋C．(1)(3)[在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件．][合作探究·攻重难]充分条件、必要条件、充要条件的判断例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：ab＜1.[思路探究]判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断﹁q是﹁p的什么条件．[解](1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，所以p是q的充分必要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，ab＞1；当b＞0时，ab＜1，故若a＜b，不一定有ab＜1；当a＞0，b＞0，ab＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，ab＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．[规律方法]充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若﹁p⇒﹁q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若﹁p⇒﹁q，且﹁q⇒/﹁p，则p是q的必要不充分条件；若﹁p⇔﹁q，则p与q互为充要条件；若﹁p⇒/﹁q，且﹁q⇒/﹁p，则p是q的既不充分也不必要条件．[跟踪训练]1．(1)设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件D[令a＝1，b＝－1，满足ab，但不满足a2b2，即“ab”不能推出“a2b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2b2，但不满足ab，即“a2b2”不能推出“ab”，所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac0是函数f(x)没有零点的充要条件．A．①④B．①②③C．①②③④D．①②④D[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b2－4ac0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明例2、(1)“x2－4x0”的一个充分不必要条件为()A．0x4B．0x2C．x0D．x4(2)已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.[思路探究](1)先解不等式x2－4x0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析](1)由x2－4x0得0x4，则充分不必要条件是集合{x|0x4}的子集，故选B.[答案]B(2)法一：充分性：由xy0及xy，得xxyyxy，即1x1y.必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0.因为xy，所以y－x0，所以xy0.所以1x1y的充要条件是xy0.法二：1x1y⇔1x－1y0⇔y－xxy0.由条件xy⇔y－x0，故由y－xxy0⇔xy0.所以1x1y⇔xy0，即1x1y的充要条件是xy0.[规律方法]1.探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．[跟踪训练]2．(1)不等式x(x－2)0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)B[由x(x－2)0得0x2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，BA.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．例3、已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路探究]p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇒/p.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，所以m0，1－m－2，1＋m≥10或1－m≤－2，m0，1＋m10，解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．[答案]{m|m≥9}(或[9，＋∞))母题探究：1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)得1－m≤x≤1＋m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p⇒/q.则{x|1－m≤x≤1＋m，m0}{x|－2≤x≤10}所以m01－m≥－21＋m≤10，解得0m≤3.即m的取值范围是(0,3]．2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解]因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.所以a－4≤1a＋4≥3解得－1≤a≤5即a的取值范围是[－1,5]．[规律方法]利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．[当堂达标·固双基]1．（2019年淄博校级月考）“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]2．（2019年海南模拟）“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]3．（2019年滁州期中）下列条件中，是x24的必要不充分条件是()A．－2≤x≤2B．－2x0C．0x≤2D．1x3【答案】A[由x24得－2x2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2x2}，故选A.]4．（2018年烟台期末）若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________.【答案】(－∞，1][由