（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数

第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[自主预习·探新知]1．空间向量的夹角(1)夹角的定义图3­1­15已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作．〈a，b〉(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π2时，两向量，记作.垂直πa⊥b2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ＝a·交换律a·b＝分配律a·(b＋c)＝|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉a·b＋a·c(a·b)(λb)b·a(3)空间两向量的数量积的性质：垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0同向：则a·b＝|a|·|b|共线反向：则a·b＝－|a|·|b|模a·a＝＝|a|2|a|＝a·a|a·b|≤|a|·|b|向量数量积的性质夹角θ为a，b的夹角，则cosθ＝|a||a|cos〈a，a〉a·b|a||b|思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示](1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b0，故当a·b0时，〈a·b〉不一定是锐角．[基础自测]1．思考辨析(1)在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝∠B．()(2)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB→与A′C′→的夹角为45°.()(3)0·a＝0.()(4)若a·b0，则〈a，b〉为钝角．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，则〈A′B→，B′D′→〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°D[△B′D′C是等边三角形，〈A′B→，B′D′→〉＝〈D′C→，B′D′→〉＝120°.]3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.23π[cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.所以〈a，b〉＝23π.][合作探究·攻重难]空间向量的数量积运算例1、(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝()A．1B．2C．3D．4(2)如图3­1­16所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：图3­1­16(1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)EF→·DC→；(4)AB→·CD→.[解析](1)由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.[答案]A(2)EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12cos60°＝14.(2)EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12|BD→|2＝12.(3)EF·DC→＝12BD→·DC→＝－12DB→·DC→＝－12×cos60°＝－14.(4)AB→·CD→＝AB→·(AD→－AC→)＝AB→·AD→－AB→·AC→＝|AB→||AD→|cos〈AB→，AD→〉－|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝cos60°－cos60°＝0.[规律方法]在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.[跟踪训练]1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→＝________.14a2[AE→·AF→＝AB→＋12BC→·12AD→＝12AB→·AD→＋14BC→·AD→＝12a2cos60°＝14a2.](2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则OG→·(OA→＋OB→＋OC→)＝________.143[OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋13(AB→＋AC→)＝OA→＋13[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝13OB→＋13OC→＋13OA→∴OG→·(OA→＋OB→＋OC→)＝13OB→＋13OC→＋13OA→·(OA→＋OB→＋OC→)＝13OB→2＋13OC→2＋13OA→2＝13×22＋13×32＋13×12＝143.]利用数量积证明空间的垂直关系例2、已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．[解]连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又OG→＝12(OM→＋ON→)＝1212OA→＋12OB→＋OC→＝14(a＋b＋c)，BC→＝c－b.∴OG→·BC→＝14(a＋b＋c)·(c－b)＝14(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝14(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴OG→⊥BC→，即OG⊥BC．[规律方法]用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题．(2)用已知向量表示所证向量．(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题．[跟踪训练]2．如图3­1­17，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：图3­1­17(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.[证明](1)因为AO→＝AD→＋DO→＝AD→＋12(DD′→＋DC→)，因为CD′→＝DD′→－DC→，所以AO→·CD′→＝12(DD′→＋DC→＋2AD→)·(DD′→－DC→)＝12(DD′→·DD′→－DD′→·DC→＋DC→·DD′→－DC→·DC→＋2AD→·DD′→－2AD→·DC→)＝12(|DD′→|2－|DC→|2)＝0，所以AO→⊥CD′→，故AO⊥CD′.(2)因为AC′→·B′C→＝(AB→＋BC→＋CC′→)·(B′B→＋BC→)＝AB→·B′B→＋AB→·BC→＋BC→·B′B→＋BC→·BC→＋CC′→·B′B→＋CC′→·BC→，可知AB→·B′B→＝0，AB→·BC→＝0，BC→·B′B→＝0，BC→·BC→＝|BC→|2，CC′→·B′B→＝－|CC′→|2，CC′→·BC→＝0，所以AC′→·B′C→＝|BC→|2－|CC′→|2＝0，所以AC′→⊥B′C→，所以AC′⊥B′C．同理可证，AC′⊥B′D′.又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.利用数量积求夹角例3、如图3­1­18，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值.图3118[思路探究]求异面直线OA与BC所成的角，首先来求OA→与BC→的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．[解]∵BC→＝AC→－AB→，∴OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→|·|AC→|·cos〈OA→，AC→〉－|OA→|·|AB→|·cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162.∴cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→|·|BC→|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为3－225.[规律方法]利用向量数量积求夹角问题的思路1．求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝a·b|a||b|求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．[跟踪训练]3.如图3­1­19，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．图3­1­19(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解](1)证明：设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a.∴CE→·A′D→＝－12c2＋12b2＝0，∴CE→⊥A′D→，即CE⊥A′D．(2)∵AC′→＝－a＋c，∴|AC′→|＝2|a|，|CE→|＝52|a|，∵AC′→·CE→＝(－a＋c)·b＋12c＝12c2＝12|a|2，∴cos〈AC′→，CE→〉＝12|a|22·52|a|2＝1010.∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.利用数量积求距离[探究问题]1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈AB→，CD→〉的值是多少？提示：〈AB→，CD→〉＝60°或120°2．如图3­1­20，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．图3­1­20提示：∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→，∴|AD→|2＝(AB→＋BC→＋CD→)2＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·BC＋2AB→·CD＋2BC→·CD→＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|AD→|＝22，即A，D两点间的距离为22.例4、如图3­1­21所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．图3­1­21[思路探究]BD→＝BA→＋AC→＋CD→→得到|BD→|2的值，注意对〈BA→，CD→〉的讨论→得B，D间的距离[解]∵∠ACD＝90°，∴AC→·CD＝0，同理可得AC→·BA→＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA→，CD→〉＝60°或〈BA→，CD→〉＝120°.又BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∴|BD→|2＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→＝3＋2×1×1×cos〈BA→，CD→〉．∴当〈BA→，CD→〉＝60°时，|BD→|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA→，CD→〉＝120°时，|BD→|2＝2，此时B，D间的距离为2.[规律方法]1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离．[跟踪训练]4.如图3­1­22所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的