（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1-2 空间向量

第三章空间向量与立体几何3.1.1-2空间向量及其加减数乘运算学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．空间向量(1)定义：在空间，具有和的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为或.大小方向大小有向线段|AB→|AB→|a|2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量单位向量任意相反向量相等a的相反向量：AB→的相反向量：相等向量相同a＝b任意01相反相等0BA→－a3.向量的加法、减法空间向量的运算加法OB→＝＝a＋b减法CA→＝＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)OA→＋OC→OA→－OC→b＋a4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个，称为向量的数乘运算．当λ0时，λa与向量a方向；当λ0时，λa与向量a方向；当λ＝0时，λa＝；λa的长度是a的长度的倍．(2)运算律：①λ(a＋b)＝；②λ(μa)＝.向量相同相反|λ|λa0(λμ)aλa＋λb5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使.③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使OP→＝.互相平行或重合共线向量a＝λbOA→＋tAB→(2)共面向量①定义：平行于的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使AP→＝或对空间任意一点O，有OP→＝.同一个平面p＝xa＋ybOA→＋xAB→＋yAC→xAB→＋yAC→思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP→＝13OA→＋13OB→＋13OC→，则点P与点A，B，C是否共面？[提示](1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP→＝13OA→＋13OB→＋13OC→得OP→－OA→＝13(OB→－OA→)＋13(OC→－OA→)即AP→＝13AB→＋13AC→，因此点P与点A，B，C共面．[基础自测]1．思考辨析(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()(3)如果OP→＝OA→＋tAB→，则P，A，B共线．()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．已知空间四边形ABCD中，AB→＝a，CB→＝b，AD→＝c，则CD→＝()A．a＋b－cB．－a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－cC[CD→＝CB→＋BA→＋AD→＝CB→－AB→＋AD→＝－a＋b＋C．]3．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB→＋12BC→－32DE→－AD→化简的结果为________．0[延长DE交边BC于点F，则有AB→＋12BC→＝AF→，32DE→＋AD→＝AD→＋DF→＝AF→，故AB→＋12BC→－32DE→－AD→＝0.][合作探究·攻重难]空间向量的有关概念例1、(1)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC→＝A1C1→④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确命题的序号是________．(2)如图3­1­1所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量AA′→相等的向量有________；与向量A′B′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)图3­1­1[解析](1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC→＝A1C1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．[答案]②③④(2)根据相等向量的定义知，与向量AA′→相等的向量有BB′→，CC′→，DD′→.与向量A′B′→相反的向量有B′A′→，BA→，CD→，C′D′→.[答案]BB′→，CC′→，DD′→B′A′→，BA→，CD→，C′D′→[规律方法]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性。②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．[跟踪训练]1．如图3­1­2所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，图3­1­2(1)试写出与AB→相等的所有向量；(2)试写出AA1→的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1→的模.[解](1)与向量AB→相等的向量有A1B1→，DC→，，D1C1→，共3个；(2)向量AA1→的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→，共4个；(3)|AC1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC1→|＝3.空间向量的线性运算例2、(1)如图3­1­3所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1→的有()图3­1­3①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→；④(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)如图3­1­4所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图3­1­4①AP→；②A1N→；③MP→＋NC1→.[思路探究](1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解．[解析](1)对于①，(AB→＋BC→)＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→，对于②，(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→＝AD1→＋D1C1→＝AC1→，对于③，(AB→＋BB1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→，对于④，(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→.[答案]D(2)①AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝AA1→＋AD→＋12AB→＝a＋c＋12b，②A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－AA1→＋AB→＋12AD→＝－a＋b＋12c，③MP→＋NC1→＝MA1→＋A1D1→＋D1P→＋NC→＋CC1→＝12a＋c＋12b＋12c＋a＝32a＋12b＋32c．[规律方法]1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟踪训练]2.如图3­1­5，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用a，b，c表示向量OG→.图3­1­5[解]OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(MA→＋AB→＋BN→)＝12OA→＋2312OA→＋OB→－OA→＋12BC→＝12OA→＋23OB→－12OA→＋12OC→－OB→＝16OA→＋13OB→＋13OC→＝16a＋13b＋13C．共线问题例3、(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB→＝e1＋ke2，BC→＝5e1＋4e2，DC→＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.(2)如图3­1­6正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝23A1C→，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．图3­1­6[思路探究](1)根据向量共线的充要条件求解．(2)用向量AB→，AD→，AA1→分别表示MO→和MC1→.[解析](1)AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2设AD→＝λAB→，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)所以λ＝7λk＝k＋6，解得k＝1[答案]1(2)设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则MO→＝MC→＋CO→＝12AC→＋13CA1→＝12(AB→＋AD→)＋13(CA→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→＋13(CB→＋CD→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→－13AD→－13AB→＋13AA1→＝16AB→＋16AD→＋13AA1→＝16a＋16b＋13c，MC1→＝MC→＋CC1→＝12AC→＋AA1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→，＝12a＋12b＋c，∴MC1→＝3MO→，又直线MC1与直线MO有公共点M，∴C1，O，M三点共线．[规律方法]1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在惟一实数λ使a＝λb；②若存在惟一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立．(2)对空间任一点O，有OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)．(3)对空间任一点O，有OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．[跟踪训练]3．(1)已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，DA[AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b所以AD→＝3AB→.又直线AB，AD有公共点A，故A、B、D三点共线．](2)如图3­1­7，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.图3­1­7求证：E，F，B三点共线．[证明]设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，因为A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，所以A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→，所以A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c，所以EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c.又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，所以EF→＝25EB→，所以E，F，B三点共线．向量共面问题[探究问题]1．能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？提示：(1)存在有序实数对(x，y)，使得AP→＝xAB→＋yAC→.(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有