（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方

第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．抛物线焦点准线2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程F－p2，0y2＝－2px(p0)y2＝2px(p0)x＝p2Fp2，0x＝－p2x2＝－2py(p0)x2＝2py(p0)y＝p2F0，p2y＝－p2F0，－p2思考2：(1)抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．[基础自测]1．思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．()(2)抛物线是双曲线的一支．()(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标轴上．”()[答案](1)×(2)×(3)√2．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)B[抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]3．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8C[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]4．抛物线x＝4y2的准线方程是()A．y＝12B．y＝－1C．x＝－116D．x＝18C[由x＝4y2得y2＝14x，故准线方程为x＝－116.][合作探究·攻重难]求抛物线的标准方程例1、根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝23；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．[思路探究](1)(2)由题意可确定方程形式→求出p→写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程[解](1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且p2＝23，则p＝43，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－83y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p0)或x2＝－2py(p0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y.(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.[规律方法]1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p与p2的几何意义．[跟踪训练]1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；(2)过点(4，－8)；(3)焦点在x－2y－4＝0上．[解](1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将点(－1，－3)代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝16，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m·(－3)，即m＝－13，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p′y(p′＞0)，将点(4，－8)代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.(3)由x＝0，x－2y－4＝0，得x＝0，y＝－2，由y＝0，x－2y－4＝0，得y＝0，x＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.抛物线的定义的应用例2、(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．(2)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标.(3)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[思路探究](1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程．(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．(3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解．[解](1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p0)，由p2＋3＝5得p＝4，因此抛物线方程为x2＝－8y，其准线方程为y＝2，由m2＝24得m＝±26.(2)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5.此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，∴P(1,2)．(3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.[规律方法]抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．[跟踪训练]2．(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A．172B．3C．5D．92A[由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P到准线x＝－12的距离d＝|PF|，易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部，连接AF，交y2＝2x于点P′，欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，∴其最小值为|AF|＝0－122＋2－02＝172.](2)若位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12.求点M的轨迹方程．[解]由于位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M到F12，0的距离与它到直线l：x＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p0)的形式，而p2＝12，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).抛物线的实际应用[探究问题]已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．例3、河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究]建系→设方程→解方程→求出相关量→解决问题[解]如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝85，∴抛物线方程为x2＝－165y.∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－165yA，得yA＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．[规律方法]求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系．(2)设出合适的抛物线标准方程．(3)通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求出需要求出的量．(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．[跟踪训练]3．如图2­4­1是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为()图2­4­1A．2.2米B．4.4米C．2.4米D．4米B[如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2，故水面宽为4.4m，故选B．][当堂达标·固双基]1．（2019年赤峰模拟）准线方程为y＝23的抛物线的标准方程为()A．x2＝83yB．x2＝－83yC．y2＝－83xD．y2＝83x【答案】B[由准线方程为y＝23知抛物线焦点在y轴负半轴上，且p2＝23，则p＝43.故所求抛物线的标准方程为x2＝－83y.]2．（2019年海南校级月考）抛物线y＝14x2的焦点坐标是()A．0，116B．116，0C．(0,1)D．(1,0)【答案】C[抛物线的标准方程为x2＝4y，从而焦点坐标为(0,1)．]3．（2019年河南模拟）抛物线y2＝24ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝20x【答案】A[由题意知6a＋3＝5，解得a＝13，因此抛物线方程为y2＝8x.]4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________.【答案】4[把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.]5．（2019年铁东区模拟）若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．【答案】由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F－p2，0，准线方程为x＝p2.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9