（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方

第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．差的绝对值两个定点两焦点间的距离思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)焦点F1，F2F1，F2a，b，c的关系c2＝(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)a2＋b2y2a2－x2b2＝1x2a2－y2b2＝1[基础自测]1．思考辨析(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()[答案](1)×(2)×(3)×2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43D[c2＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为43.]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.x225－y224＝1B.y225－x224＝1C．x225－y224＝1或y225－x224＝1D.x225－y224＝0或y225－x224＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C．][合作探究·攻重难]双曲线的定义及应用例1、若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离．(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．[思路探究](1)直接利用定义求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.[解](1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6.解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.(2)由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64×32＝163.[规律方法]求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.(2)利用公式S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|求得面积.[跟踪训练]1．(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5D．|PF1|2－|PF2|2＝±4A[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.](2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.9[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝4－12＋42＝25＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.]求双曲线的标准方程例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A1，－4103；(2)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P3，154，Q－163，5且焦点在坐标轴上．[思路探究](1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解](1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b0)，把点A的坐标代入，得b2＝－1615×16090，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20①.∵双曲线经过点(32，2)，∴18a2－4b2＝1②.由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为x212－y28＝1.法二：设所求双曲线的方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4λ16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为x212－y28＝1.(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB0.∵点P，Q在双曲线上，∴9A＋22516B＝1，2569A＋25B＝1，解得A＝－116，B＝19.∴双曲线的标准方程为y29－x216＝1.[规律方法]1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB0)来求解．[跟踪训练]2．(1)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A．x24－y2＝1B．x23－y2＝1C．x22－y2＝1D．x2－y22＝1C[设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意得4a2－1b2＝1c2＝a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程为x22－y2＝1.](2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1B[由双曲线的焦点可知c＝5，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且PF2＝4，点P在双曲线右支上．所以PF1＝252＋42＝36＝6，所以PF1－PF2＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－y24＝1，选B.]与双曲线有关的轨迹问题[探究问题]1．到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支2．求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？提示：以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系．例3、如图2­3­1，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．图2­3­1[思路探究]建立平面直角坐标系→由已知条件得到边长的关系→判断轨迹的形状→写出轨迹方程[解]以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理，得sinA＝|BC|2R，sinB＝|AC|2R，sinC＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x2a2－y2b2＝1(xa)，∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．[规律方法]求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．[跟踪训练]3．如图2­3­2所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.[解]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝310＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1x≤－32.[当堂达标·固双基]1．（2019年上饶期末）已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程x2m＋y2n＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C[方程x2m＋y2n＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程x2m＋y2n＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程x2m＋y2n＝1表示双曲线”的充要条件．]2．（2019年都匀市校级月考）以椭圆x23＋y24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A．x23－y2＝1B．y2－x23＝1C．x23－y24＝1D．y23－x24＝1【答案】B[椭圆x23＋y24＝1的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，－2)，所以对于所求双曲线a＝1，c＝2，b2＝3，焦点在y轴上，双曲线的方程为y2－x23＝1.]3．（2019年自贡月考）若双曲线E：x29－y216＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3【答案】B[由题意知||PF2|－3|＝6，即|PF2|－3＝±6，解得|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．]4．（2019年自贡期末）设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.【答案】16[由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.]5．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．【答案】因为椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，所以a2＋b2＝916a2－15b2＝1，解得a2＝