（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)[自主预习·探新知]1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于的点的轨迹叫做椭圆，这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．常数(大于|F1F2|)两个定点两焦点间的距离2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)与a，b，c的关系c2＝(0，－c)(0，c)a2－b2x2a2＋y2b2＝1(ab0)[基础自测]1．思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．()(2)到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．()(3)椭圆x225＋y249＝1的焦点在x轴上．()[答案](1)×(2)×(3)×2．已知椭圆x2m＋y216＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于()A．10B．5C．15D．25D[由题意知2a＝3＋7＝10，∴a＝5，∴m＝a2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.x2100＋y236＝1B.y2400＋x2336＝1C.y2100＋x236＝1D.y220＋x212＝1C[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为y2100＋x236＝1.][合作探究·攻重难]求椭圆的标准方程例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有32a2＋－22b2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.故所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有－22a2＋32b2＝1，1a2＋－232b2＝1，解得a2＝5，b2＝15，因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.[规律方法]1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．[跟踪训练]1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0，2)和B12，3，求椭圆的标准方程．[解]设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，将A，B两点坐标代入方程得4n＝1，14m＋3n＝1，解得m＝1，n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.椭圆中的焦点三角形问题例2、(1)椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．(2)已知椭圆x24＋y23＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________.[思路探究](1)求|PF2|→求cos∠F1PF2→求∠F1PF2的大小(2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF1|，|PF2|的方程→联立求解|PF1|→求三角形的面积[解析](1)由x29＋y22＝1，知a＝3，b＝2，∴c＝7.∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝－12，∴∠F1PF2＝120°.(2)由x24＋y23＝1，可知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4②.由①②联立可得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝12×65×2×32＝335.[答案](1)120°(2)335[规律方法]1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．[跟踪训练]2．(1)已知P是椭圆y25＋x24＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是______________________________．8－43[由椭圆的标准方程，知a＝5，b＝2，∴c＝a2－b2＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝25.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，即4＝20－(2＋3)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－3)．∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×16(2－3)×12＝8－43.](2)设P是椭圆x24＋y23＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠PF1F2＝90°，则△F1PF2的面积是________．32[由椭圆方程x24＋y23＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝32，因此S△PF1F2＝12·|F1F2|·|PF1|＝32.故所求△PF1F2的面积为32.]与椭圆有关的轨迹问题[探究问题]1.如图2­2­1，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．图2­2­1提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，C．所求点Q的轨迹方程为x29＋y25＝1.2.如图2­2­2，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？图2­2­2提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)．(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式x1＝gx，y，y1＝hx，y.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M的轨迹方程为x24＋y2＝1.例3、(1)已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.[思路探究](1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．[解析](1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又x204＋y208＝1.所以2x24＋2y28＝1，即x2＋y22＝1.[答案]x2＋y22＝1.(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，R1＝1；Q2(3,0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．由题设有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.[规律方法]1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．[跟踪训练]3．(1)已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆x24＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．[解]设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．利用中点坐标公式，得x＝x0＋12，y＝y02，∴x0＝2x－1，y0＝2y.∵Q(x0，y0)在椭圆x24＋y2＝1上，∴x204＋y20＝1.将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得2x－124＋(2y)2＝1.故所求AQ的中点M的轨迹方程是x－122＋4y2＝1.(2)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝32，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．[解]以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．则2a＝|AC|＋|BC|＝32＋52＝4,2c＝|AB|＝2，所