（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第3章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点

第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[自主预习·探新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)__＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？[提示]不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．f(x)＝0的实数x2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(_b)0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)_＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．思考2：该定理具备哪些条件？x轴零点连续不断f(a)·f(b)0f(c)＝0[提示]定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0.[基础自测]1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)0.()[答案](1)×(2)×(3)×2．函数y＝2x－1的零点是()A.12B.12，0C.0，12D．2A[由2x－1＝0得x＝12.]3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为()A．(0,1)B．(－1,0)C．(2,3)D．(1,2)D[由f(1)＝3－4＝－10，f(2)＝9－4＝50得f(x)的零点所在区间为(1,2)．]4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c0，则函数有________个零点．两[由Δ＝b2－4ac0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．][合作探究·攻重难]例1(1)求函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.求函数的零点[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x0的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13.所以函数g(x)的零点为0和－13.[规律方法]函数零点的求法代数法：求方程fx＝0的实数根.几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点[跟踪训练]1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2.[解](1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝x2＋4x－12x－2＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.例2(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是()A．(3,4)B．(2，e)C．(1,2)D．(0,1)判断函数零点所在的区间(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是()x－10123ex0.3712.727.3920.08x＋323456A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(1)C(2)C[(1)因为f(1)＝ln2－210，f(2)＝ln3－10，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.630，f(0)＝1－3＝－20，f(1)＝2.72－4＝－1.280，f(2)＝7.39－5＝2.390，f(3)＝20.08－6＝14.080，f(1)·f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.][规律方法]判断函数零点所在区间的三个步骤代入：将区间端点值代入函数求出函数的值判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点[跟踪训练]2．若函数f(x)＝x＋ax(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1D．3A[f(x)＝x＋ax(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－10，f(2)＝2－1＝10.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.][探究问题]1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？提示：相等．函数零点的个数2．若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，如何求实数a的取值范围？例3已知0a1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4思路探究：构造函数fx＝a|x|0a1与gx＝|logax|0a1→画出fx与gx的图象→观察图象得零点的个数B[函数y＝a|x|－|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象的交点的个数．画出函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.]母题探究：1.把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．[解]由2x|logax|－1＝0得|logax|＝12x，作出y＝12x及y＝|logax|(0a1)的图象如图所示．由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．[解]由2x|logax|－1＝0得|logax|＝12x，作出y＝12x及y＝|logax|(0a1)的图象如图所示．由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．[解]由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．[解]由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．[当堂达标·固双基]1．（2018年滁州期中）函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点个数是()A．0B．1C．2D．3C[由f(x)＝0得2x2－3x＋1＝0，∴x＝12或x＝1，所以函数f(x)有2个零点．]【答案】2．（2019年重庆期末）函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【答案】B[∵f(1)＝2－3＝－10，f(2)＝4－3＝10，∴f(1)·f(2)0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]3．（2019年古冶区校级月考）对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解【答案】D[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．【答案】B(－1,0)[∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴f00，f10，∴b0，1＋b0，∴－1b0.]5．（2019年河南校级月考）已知函数f(x)＝x2－x－2a.(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.即函数f(x)的零点为－1和2.(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－18，所以a的取值范围是a≥－18.