（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.2 指数函数及其

第二章基本初等函数(Ⅰ)第2课时指数函数及其性质的应用2.1.2指数函数及其性质学习目标：1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)[合作探究·攻重难]例1比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a0且a≠1).利用指数函数的单调性比较大小[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.51，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.53.2，所以1.52.51.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2－1.5，所以0.6－1.20.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.21.70＝1,0.92.10.90＝1，所以1.70.20.92.1.(4)当a1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1a0.3；当0a1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1a0.3.[规律方法]比较幂的大小的方法1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较4当底数含参数时，要按底数a1和0a1两种情况分类讨论[跟踪训练]1．比较下列各值的大小：4313，223，－233，3412.[解]先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：－233；(2)大于1的数：4313，223；(3)大于0且小于1的数：3412.(2)中，4313213223(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝43x，y＝2x的图象，再分别取x＝13，x＝23，比较对应函数值的大小，如图)，故有－23334124313223.例2(1)解不等式123x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1ax＋6(a0，a≠1)，求x的取值范围.利用指数函数的单调性解不等式[解](1)∵2＝12－1，∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1.∵y＝12x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情况讨论：①当0a1时，函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1x＋6，∴x2－4x－50，根据相应二次函数的图象可得x－1或x5；②当a1时，函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1x＋6，∴x2－4x－50，根据相应二次函数的图象可得－1x5.综上所述，当0a1时，x－1或x5；当a1时，－1x5.[规律方法][跟踪训练]2．若ax＋11a5－3x(a0且a≠1)，求x的取值范围．[解]因为ax＋11a5－3x，所以ax＋1a3x－5，当a1时，y＝ax为增函数，可得x＋13x－5，所以x3；当0a1时，y＝ax为减函数，可得x＋13x－5，所以x3.综上，当a1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0a1时，x的取值范围为(3，＋∞)．[探究问题]1．函数f(x)＝12x2－2x＋1的单调区间是什么？指数型函数单调性的综合应用提示：因为函数y＝12t在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t＝x2－2x＋1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f(x)＝12x2－2x＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．2．函数y＝a－x2(a0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；(2)当0a1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性相反．例3判断f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域.思路探究：令u＝x2－2x―→函数ux的单调性―→函数y＝13u的单调性――――→同增异减函数fx的单调性[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y＝13u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)，∴013u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．母题探究：1.把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．[解]函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．[解]函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．2．把本例函数改为“f(x)＝13ax2－2x，且f(x)有最大值9”，求a的值．[解]令g(x)＝ax2－2x，则f(x)＝13g(x)，由于f(x)的最大值为9，所以g(x)的最小值为－2.①当a＝0时，f(x)＝13－2x，无最大值．②当a≠0时，由题意可知a0，－44a＝－2，解得a＝12，所以，当f(x)的最大值为9时，a的值为12.[解]令g(x)＝ax2－2x，则f(x)＝13g(x)，由于f(x)的最大值为9，所以g(x)的最小值为－2.①当a＝0时，f(x)＝13－2x，无最大值．②当a≠0时，由题意可知a0，－44a＝－2，解得a＝12，所以，当f(x)的最大值为9时，a的值为12.[规律方法]函数y＝afxa0，a≠1的单调性的处理技巧1关于指数型函数y＝afxa0，且a≠1的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是fx的单调性，它由两个函数y＝au，u＝fx复合而成.2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝fu，u＝φx，通过考查fu和φx的单调性，求出y＝fφx的单调性.[当堂达标·固双基]1．（2019年鼓楼区期中）若2x＋11，则x的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)【答案】D[∵2x＋11＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋10，∴x－1.]2．（2019年滁州模拟）下列判断正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5【答案】D[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]3．（2019年安庆校级月考）函数y＝121－x的单调增区间为()A．RB．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)【答案】A[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝12u(x)是减函数，故y＝121－x在R上单调递增，故选A.]4．（2019年徐汇区校级期中）已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为________.【答案】mn[∵a＝5－12∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)f(n)，∴mn.]5．（2019年定州市期中）已知函数f(x)＝ax(a0且a≠1)的图象经过点2，19.(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．【答案】(1)由已知得a2＝19，解得a＝13，因为f(x)＝13x在R上递减，则2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以13x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．