（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1 指数与指数幂

第二章基本初等函数(Ⅰ)第2课时指数幂及运算2.1.1指数与指数幂的运算学习目标：1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)[自主预习·探新知]1．分数指数幂的意义正分数指数幂规定：amn＝————(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝————(a0，m，n∈N*，且n1)分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.nam1nam0没有意义思考：(1)分数指数幂amn能否理解为mn个a相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式amn＝nam中，为什么必须规定a0?[提示](1)不能．amn不可以理解为mn个a相乘，事实上，它是根式的一种新写法．(2)①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即nam＝amn＝0，无研究价值．②若a0，amn＝nam不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a0.2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．arsarbr实数[基础自测]1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()[答案](1)×(2)×(3)×2．425等于()A．25B.516C.415D.54B[425＝542＝516，故选B.]3．已知a0，则a－23等于()A.a3B．13a2C.1a3D．－3a2B[a－23＝1a23＝13a2.]4．(m12)4＋(－1)0＝________.m2＋1[(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.][合作探究·攻重难]例1将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)aa(a0)；(2)13x5x22；(3)4b－23－23(b0).根式与分数指数幂的互化.3,111112,1913241323241535331593593543252432123232132bbbxxxxxxxxaaaaa原式原式）原式（答案[规律方法]根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[跟踪训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化．(1)a3·3a2；(2)a－4b23ab2(a0，b0)．.2,134611323124312243224311323323323bababaabbaabbaaaaaaa答案类型二、利用分数指数幂的运算性质化简求解例2、化简求值：.b3423;1242;3222564160.0271363241320132432131abacbababa.233213623;331311242;1576413124253.013124250.313461236161312361613111224324131233223434212313babbabbaacaaccbacbaba原式原式原式答案[规律方法]指数幂运算的常用技巧1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算2负指数幂化为正指数幂的倒数3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.[跟踪训练]2．(1)计算：0.064－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)化简：3a92a－3)÷3a－7·3a13(a0)．.12,801431.08116110.41.02210.410613676369313213721233129311-21275.044313aaaaaa原式原式答案[探究问题]1.a＋1a2和a－1a2存在怎样的等量关系？指数幂运算中的条件求值提示：a＋1a2＝a－1a2＋4.2．已知a＋1a的值，如何求a＋1a的值？反之呢？提示：设a＋1a＝m，则两边平方得a＋1a＝m2－2；反之若设a＋1a＝n，则n＝m2－2，∴m＝n＋2.即a＋1a＝n＋2.例3、已知a12＋a－12＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.思路探究：a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1的值，a＋a－1两边平方，得a2＋a－2的值。[解](1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.[解]2、令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±83，即a－a－1＝±83.[解]1、由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±83×14＝±1123.母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[规律方法]解决条件求值的思路1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[当堂达标·固双基]1．（2019年河南模拟）下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝1D．(－a2)3＝a6[答案]A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(a－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]2．（2019年重庆期中）把根式aa化成分数指数幂是()A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a32[答案]D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]3.4．（2019年呼伦贝尔模拟）若10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.[答案]83[∵10m＝2，∴103m＝23＝8，又10n＝3，所以103m－n＝103m10n＝83.][答案].323281161681324144141-.______1681201941-的值是年揭阳月考。，综上可知即则，设知由即则设答案53,5m5,21,309,21,21212121221212121222121aaaammaamaaaaattaataa