(同步精品课堂)2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小

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第一章集合与函数概念第一课时函数的单调性1.3.1单调性与最大(小)值学习目标:1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)[自主预习·探新知]1.增函数与减函数的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时条件都有f(x)<f(f(x)都有f(x)_____>f结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数任意f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增减图示思考1:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征?[提示]定义中的x1,x2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1x2;(3)属于同一个单调区间.2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.思考2:函数y=1x在定义域上是减函数吗?[提示]不是.y=1x在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上也递减,但不能说y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上递减.增函数或减函数单调区间[基础自测]1.思考辨析(1)因为f(-1)f(2),所以函数f(x)在[-1,2]上是增函数.()(2)若f(x)为R上的减函数,则f(0)f(1).()(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.()[答案](1)×(2)√(3)×2.函数y=f(x)的图象如图1­3­1所示,其增区间是()图1­3­1A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4]C[由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C.]3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是()A.y=-1xB.y=xC.y=x2D.y=1-xD[函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选D.]4.函数f(x)=x2-2x+3的单调减区间是________.(-∞,1)[因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(-∞,1).][合作探究·攻重难]例1求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.(1)f(x)=-1x;(2)f(x)=2x+1,x≥1,5-x,x1;(3)f(x)=-x2+2|x|+3.求函数的单调区间[解](1)函数f(x)=-1x的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.(3)因为f(x)=-x2+2|x|+3=-x2+2x+3,x≥0,-x2-2x+3,x0.根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.[规律方法]1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例(3).2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3).[跟踪训练]1.(1)根据如图1­3­2说出函数在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数;图1­3­2(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.[解](1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.(2)先画出f(x)=x2-2x-3,x-1或x3,-x2-2x-3,-1≤x≤3的图象,如图.所以y=|x2-2x-3|的单调减区间为(-∞,-1],[1,3];单调增区间为[-1,1],[3,+∞).例2证明函数f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.思路探究:设元0x1x21―→作差:fx1-fx2――→变形判号:fx1fx2――→结论减函数函数单调性的判定与证明[证明]设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+1x1-1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)1-1x1x2=x1-x2-1+x1x2x1x2∵0x1x21,∴x1-x20,0x1x21,则-1+x1x20,∴x1-x2-1+x1x2x1x20,即f(x1)f(x2),∴f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.[规律方法]利用定义证明函数单调性的步骤1取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2.2作差变形:作差fx1-fx2,并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子3定号:确定fx1-fx2的符号4结论:根据fx1-fx2的符号及定义判断单调性提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.[跟踪训练]2.试用函数单调性的定义证明:f(x)=2xx-1在(1,+∞)上是减函数.[证明]f(x)=2+2x-1,设x1x21,则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2x2-x1x1-1x2-1,因为x1x21,所以x2-x10,x1-10,x2-10,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.[探究问题]1.若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)f(b),则a,b满足什么关系.如果函数f(x)是减函数呢?函数单调性的应用提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)f(b)时,ab;若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)f(b)时,ab.2.若函数f(x)=x2-2ax+3在(2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是什么?提示:因为函数f(x)=x2-2ax+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=a,所以其单调增区间为(a,+∞),由题意可得(2,+∞)⊆(a,+∞),所以a≤2.例3已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式.(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.思路探究:待定系数法求fx――→数形结合分析fx的对称与区间的关系――→建立不等式求a的范围[解](1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),∴1+a+b=4,4+2a+b=5,解得a=-2,b=5,∴f(x)=x2-2x+5.(2)由f(x)在区间[1,2]上不单调可知1-a22,即-4a-2.母题探究:1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”,求实数a的取值范围.[解]由f(x)在区间[1,2]上单调可知-a2≤1或-a2≥2,即a≤-4或a≥-2.2.若把本例改为“函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)g(5x+6)”,求实数x的取值范围.[解]∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)g(5x+6),∴2x-35x+6,即x-3.所以实数x的取值范围为(-∞,-3).[解]由f(x)在区间[1,2]上单调可知-a2≤1或-a2≥2,即a≤-4或a≥-2.[解]∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)g(5x+6),∴2x-35x+6,即x-3.所以实数x的取值范围为(-∞,-3).[规律方法]函数单调性的应用1函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.2若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.[当堂达标·固双基]1.(2019春•汉台区期末)如图1­3­3是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间[-5,-3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[-5,5]上没有单调性图1­3­3[答案]C[由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集“∪”连接,故选C.]2.(2019春•海珠区期末)函数f(x)在R上是减函数,则有()A.f(3)f(5)B.f(3)≤f(5)C.f(3)f(5)D.f(3)≥f(5)[答案]C[∵35,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)f(5).]3.(2019春•重庆期末)如果函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b的取值范围为()A.b=3B.b≥3C.b≤3D.b≠3[答案]C[函数f(x)=x2-2bx+2的图象是开口向上,且以直线x=b为对称轴的抛物线,若函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b≤3,故选C.]4.(2019年昆明模拟)已知函数f(x)=kx(k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是________.[答案](-∞,0)[结合反比例函数的单调性可知k0.]5.证明:函数y=xx+1在(-1,+∞)上是增函数.[证明]设x1x2-1,则y1-y2=x1x1+1-x2x2+1=x1-x2x1+1x2+1.∵x1x2-1,∴x1-x20,x1+10,x2+10,∴x1-x2x1+1x2+10,即y1-y20,y1y2,∴y=xx+1在(-1,+∞)上是增函数.

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