（同步精品课堂）2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念课件

第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念学习目标：1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)[自主预习·探新知]1．函数的概念定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么对称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围三要素值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}数集任意一个数x唯一确定自变量x{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？[提示](1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|a≤xb}半开半闭区间[a，b){x|ax≤b}半开半闭区间(a，b][a，b](a，b)(2)特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？(－∞，＋∞)[提示](1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．[基础自测]1．思考辨析(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．()[答案](1)×(2)×(3)×2．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)C．(－1，＋∞)D．(－1,0)C[由x＋10得x－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]3．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]4．集合{x|x≤－2}用区间可表示为________．(－∞，－2][{x|x≤－2}表示小于等于－2的数组成的集合，即用区间表示为(－∞，－2]．][合作探究·攻重难]例1(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．函数的概念(2)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④[解](1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．(2)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.][规律方法]判断对应关系是否为函数的2个条件1A，B必须是非空数集.2A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.[跟踪训练]1．下列四个图象中，不是函数图象的是()ABCDB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]例2设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．思路探究：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．求函数值[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1fx＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.[规律方法]函数求值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.2求fga的值应遵循由里往外的原则.[跟踪训练]2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值.[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？求函数的定义域提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？提示：函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．3．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．例3求下列函数的定义域(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝x＋12x＋1－1－x.思路探究：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x－1且x≠1}．(3)函数有意义，当且仅当3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．母题探究：1.(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．[解]由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．2．(变化论)在本例(3)条件不变的前题下，求函数y＝f(x＋1)＋x－1的定义域．[解]由1≤x＋1≤3x－1≥0，得1≤x≤2.∴函数的定义域为[1,2]．[解]由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．[解]由1≤x＋1≤3x－1≥0，得1≤x≤2.∴函数的定义域为[1,2]．[规律方法]求函数定义域的常用方法1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．（2019春•海珠区期末）下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．出租车车费与出租车行驶的里程B．商品房销售总价与商品房建筑面积C．铁块的体积与铁块的质量D．人的身高与体重【解答】解：A．车费与行程是函数关系；B．商品总价与建筑面积是函数关系；C．体积与质量是函数关系；D．身高与体重不是函数关系；故选：D．[当堂达标·固双基]2．（2019春•海安县校级期中）函数f（x）=的定义域为（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＜0}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：要使f（x）有意义，则：x(x−1)≥0，x＞0；解得x≥1；∴f（x）的定义域为{x|x≥1}．故选：B．xxx113．下列函数中，与函数y＝x相等的是()A．y＝(x)2B．y＝x2C．y＝|x|D．y＝3x3D[函数y＝x的定义域为R；y＝(x)2的定义域为[0，＋∞)；y＝x2＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝3x3＝x，且定义域为R.故选D.]4．（2018秋•沙市区校级期中）直线x=1与函数y=f（x）的图象（）A．必有一个交点B．至少一个交点C．最多一个交点D．没有交点【解答】解：若x=1与y=f（x）的图象相交，则交点为（1，f（1）），即只有一个交点；∴直线x=1与函数y=f（x）的图象最多一个交点．故选：C．5．（2018秋•广陵区校级月考）设函数f(x)＝（1）当k=-1时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数k的取值范围．解：（1）当k=-1时，由题意得-x2+6x+7≥0，即（x+1）（x-7）≤0，即-1≤x≤7∴定义域为[-1，7]．（2）由题意得kx2-6kx+k+8≥0对一切x∈R都成立，当k=0时，f(x)＝，满足要求；当k≠0时，则有k＞0，△≤0，解得0＜k≤1，综上得：实数k的取值范围是[0，1]．862kkxkx22